כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
1 התחלה
1.1 הגדרות
\(\clubsuit\)
בסיכומים של נושא זה נעבוד אך ורק עם הנורמה והמטריקה האוקלידיות על \(\MKreal^{n}\) ועם הנורמה האופרטורית ב-\(\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{m}\right)\), כמו כן כמעט כל הפונקציות שנעבוד איתן תהיינה מהצורה \(f:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{m}\) (יהיו \(k,m\in\MKreal\)) ולא נזכיר את כל אלו בכל פעם מחדש.
\(\clubsuit\)
נרצה להגדיר גזירות של פונקציה מהצורה \(f:\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal^{m}\) בנקודה \(a\in\MKreal^{n}\), הבעיה היא שאי אפשר לחלק וקטור אחד באחר ולכן ביטוי מהצורה \({\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{a-a}}\) אינו מוגדר ובוודאי שאי אפשר לקחת עליו גבול. למעשה זו לא בעיה כל כך קשה, הרעיון בהגדרת הנגזרת של אינפי'1הוא למדוד את השינוי בערכי \(f\) עבור תזוזות קטנות מהנקודה, לכן נוכל להחליף את הביטוי הנ"ל בביטוי הבא:\[
{\displaystyle \frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{\left\Vert x-a\right\Vert }}
\]זה כבר ביטוי מוגדר1חילוק של וקטור בסקלר הוגדר להיות הכפלתו בהופכי של אותו סקלר. אלא שכעת יש לנו בעיה נוספת: הביטוי הזה הוא איבר ב-\(\MKreal^{m}\) ולכן גם הגבול שלו כזה (אם הוא קיים), לפיכך פונקציה גזירה לפי הרעיון הזה תצטרך להיראות חד-ממדית בסביבה קטנה מספיק של \(x\) שכן ההפרשים בין התמונות של הפונקציה באותה סביבה לבין \(f\left(x\right)\) יצטרכו להיות כמעט בכיוון של וקטור הנגזרת2למעשה יש מקרה שבו הטיעון הזה אינו תקף: כאשר וקטור הנגזרת הוא וקטור האפס.. אם \(n=1\) ו/או ש-\(m=1\) זה לא כל כך יפריע לנו מפני שהפונקציה אכן תהיה חד-ממדית3אנחנו נראה בהמשך שגזירות במקרים אלו אכן תתאים לרעיון זה., אבל כאשר \(n\) ו-\(m\) גדולים מ-\(1\) הרעיון הזה יוביל לכך שפונקציות מעטות מאוד תהיינה גזירות. מסיבה זו נצטרך למצוא רעיון חדש להגדיר את הגזירות בממדים גבוהים, אבל אנחנו נראה בהמשך שהרעיון הזה קשור בקשר הדוק לגזירות כזו. לגזירות של פונקציה בנקודה הייתה אינטואיציה נוספת - הישר המשיק, באינפי'1ראינו את המשפט הבא:
משפט. תהא \(g:\MKreal\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת בסביבה של נקודה \(a\in\MKreal\). \(g\) גזירה ב-\(a\) אם"ם קיים \(m\in\MKreal\) כך שמתקיים:\[
\lim_{h\rightarrow0}\frac{g\left(a+h\right)-\left(m\cdot h+g\left(a\right)\right)}{h}=0
\]ובמקרה כזה מתקיים \(m=g'\left(a\right)\).
כאשר \(g\) גזירה ב-\(a\) הישר \(g'\left(a\right)\cdot\left(x-a\right)+\left(g\left(a\right)-g'\left(a\right)\cdot a\right)\) הוא הישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה \(\left(a,g\left(a\right)\right)\in\MKreal^{2}\), אבל מהו המשיק לגרף של פונקציה מ-\(\MKreal^{n}\) ל-\(\MKreal^{m}\)? ב-\(\MKreal^{3}\) אנחנו מכירים את הרעיון של מישור המשיק לצורה גאומטרית כלשהי (למשל כדור), לכן נצפה שאם \(n=2\) ו-\(m=1\) אז הגזירות של \(f\) תייצג את המישור המשיק לגרף; מישור ב-\(\MKreal^{3}\) הוא אובייקט שכבר נתקלנו בו בליניארית1- ישריות שמרחב הכיוונים שלהם הוא בעל ממד \(2\) הן מישורים, כעת אנחנו יכולים לצפות שגם עבור \(n\) ו-\(m\) כלליים הגזירות של \(f\) תייצג את הישריה המשיקה לגרף הפונקציה.
\(\clubsuit\)
הגרף של \(T\) הוא תמ"ו של \(\MKreal^{n}\times\MKreal^{m}\), לכן הגרף של הפונקציה \(T\left(v\right)+f\left(a\right)\) הוא ישריה שעוברת בנקודה \(\left(a,f\left(a\right)\right)\) ומשיקה לגרף של \(f\) בנקודה זו4את האינטואיציה לכך שהיא אכן משיקה ולא סתם עוברת בנקודה אנחנו נראה בהמשך..
\(\clubsuit\)
בסופו של דבר הרעיון שיהיה תקף עבור כל מצב שבו הפונקציה גזירה הוא שהפונקציה ניתנת לקירוב ע"י פונקציה ליניארית בצורה כל כך טובה עד שאפילו אם מחלקים את גודל השגיאה במרחק מנקודת הדיפרנציאביליות, אפילו אז הערכים שואפים ל-\(0\) כשמתקרבים לנקודה. לקירוב כזה קוראים בפיזיקה קירוב מסדר ראשון ואנחנו נראה שכמו באינפי'1הוא מאפשר לנו לחקור פונקציות מסובכות ע"י קירובן לפונקציות פשוטות יותר - ההעתקות הליניאריות.
סימון:
בהינתן פונקציה \(f:A\rightarrow\MKreal^{m}\) נסמן ב-\(f_{1},f_{2},\ldots,f_{m}\) את הפונקציות מ-\(A\) ל-\(\MKreal\) המקיימות (לכל \(a\in A\)):\[
f\left(a\right)=\begin{bmatrix}f_{1}\left(a\right)\\
f_{2}\left(a\right)\\
\vdots\\
f_{m}\left(a\right)
\end{bmatrix}
\]
\(\clubsuit\)
יש המגדירים את הנגזרת החלקית ע"י (לכל \(0\neq v\in\MKreal^{k}\)):\[
\partial_{v}f\left(a\right):=\lim_{t\rightarrow0}\frac{f\left(a+t\cdot v\right)-f\left(a\right)}{\left\Vert t\cdot v\right\Vert }
\]בצורה זו הנגזרת הכיוונית קבועה לכל הווקטורים שכיוונם זהה גם אם גודלם שונה - לפיכך נקרא שמה הנגזרת הכיוונית, אנחנו נראה בהמשך באיזה מובן יש עדיפות להגדרה שהבאנו לעיל על פני הגדרה זו.
כפי שנראה בקובץ הטענות הנגזרת של \(f\) ניתן לייצוג באמצעות מטריצת שורה, הגרדיאנט הוא אותה מטריצה לאחר שחלוף.
סימון:
תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה, ונסמן ב-\(C^{1}\left(A,\MKreal^{m}\right)\) את קבוצת הפונקציות הגזירות ברציפות שתחום ההגדרה שלהן הוא \(A\) והטווח שלהן הוא \(\MKreal^{m}\).
\(\clubsuit\)
באופן כללי \(C^{n}\left(A,\MKreal^{m}\right)\) מסמן את קבוצת הפונקציות הגזירות ברציפות \(n\) פעמים, כאשר \(n=0\) מדובר בקבוצת הפונקציות הרציפות וכאשר \(n=\infty\) זוהי קבוצת הפונקציות החלקות - אלו שגזירות מכל סדר.
\(\clubsuit\)
בסיכומים של נושא זה נעבוד אך ורק עם הנורמה והמטריקה האוקלידיות על \(\MKreal^{n}\) ועם הנורמה האופרטורית ב-\(\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{m}\right)\), כמו כן כמעט כל הפונקציות שנעבוד איתן תהיינה מהצורה \(f:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{m}\) (יהיו \(k,m\in\MKreal\)) ולא נזכיר את כל אלו בכל פעם מחדש.
\(\clubsuit\)
בפרט הנגזרת של פונקציה קבועה היא העתקת האפס, והנגזרת של כל העתקה ליניארית היא אותה העתקה ליניארית.
\(\clubsuit\)
כלומר הנגזרת מעתיקה כל וקטור אל הנגזרת הכיוונית שלו5אם לא מגדירים נגזרת כיוונית עבור וקטור האפס אז יש לסייג ולומר ש-\(v\neq0\)..
\(\clubsuit\)
משפט זה מראה לנו שהגרף של \(Df_{a}+f\left(a\right)\) הוא הישריה המשיקה לגרף של \(f\) בנקודה \(a\) שכן בכל כיוון שנבחר נראה שהישר המוכל בגרף של \(Df_{a}+f\left(a\right)\) בכיוון זה משיק לגרף של \(f\) ב-\(a\).
\(\clubsuit\)
אם היינו מגדירים את הנגזרת הכיוונית כך שתהיה קבועה לכל הווקטורים שכיוונם זהה גם אם גודלם שונה, אז היינו צריכים לשנות את ניסוח המשפט ולכתוב:\[
\partial_{v}f\left(a\right)=\frac{Df_{a}\left(v\right)}{\left\Vert v\right\Vert }
\]
\(\clubsuit\)
\(Df_{a}\) היא העתקה ליניארית ולא מטריצה, כשאנו אומרים "העמודה ה-\(j\) של \(Df_{a}\)" כוונתנו לעמודה ה-\(j\) של המטריצה המייצגת של \(Df_{a}\) בבסיס הסטנדרטי.
\(\clubsuit\)
כפי שכבר ראינו בליניארית אין שום דבר מיוחד בבסיס הסטנדרטי, באותה מידה ניתן לייצג את \(Df_{a}\) באמצעות כל בסיס \(\MKclb:=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right)\) של \(\MKreal^{k}\) (התחום) ובסיס \(\MKclc\) של \(\MKreal^{m}\) (הטווח), ואז העמודה ה-\(j\) של \(\left[Df_{a}\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\) תהיה \(\left[\partial_{v_{j}}f\left(a\right)\right]_{\MKclc}\). הנקודה הזו תהיה שימושית במיוחד בהמשך כשנרצה ללכסן את הנגזרת השנייה של הפונקציה, אז נמצא בסיס מלכסן ונייצג אותה באמצעותו והעמודות של המטריצה המייצגת תוגדרנה לפי הבסיס המלכסן שאינו בהכרח הבסיס הסטנדרטי.
\(\clubsuit\)
כפי שראינו ניתן "לפרק" את \(f\) ל-\(m\) פונקציות \(f_{1},f_{2},\ldots,f_{m}:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal\) כך שמתקיים:\[
f\left(x\right)=\begin{bmatrix}f_{1}\left(x\right)\\
f_{2}\left(x\right)\\
\vdots\\
f_{m}\left(x\right)
\end{bmatrix}
\]ואז \(f\) גזירה בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\) אם"ם כל אחת מהפונקציות הללו גזירה ב-\(a\). כעת, מכיוון שהטווח שלהן הוא \(\MKreal\) הרי שהנגזרת של כל אחת מהן היא מטריצת שורה, והנגזרת של \(f\) היא מטריצה בגודל \(m\times k\) שהשורה ה-\(i\) שלה היא הנגזרת של \(f_{i}\). א"כ הקואורדינטה ה-\(ij\) של \(Df_{a}\) היא הנגזרת החלקית ה-\(j\) של \(f_{i}\), כלומר לכל \(m\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(k\geq j\in\MKnatural\) מתקיים6בכל הסימונים הללו ה-\(j\) מסמן את הנגזרת החלקית ה-\(j\) וה-\(i\) מסמן את הקואורדינטה ה-\(i\) (של \(f\) בסימון \(f_{i}\) ושל הנגזרת החלקית בסימון \(\left(D_{j}f\left(a\right)\right)_{i}\)).:\[
\left[Df_{a}\right]_{ij}=\left(\partial_{j}f\left(a\right)\right)_{i}=\partial_{j}f_{i}\left(a\right)=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\left(a\right)
\]כלומר:\[
Df_{a}=\left[\begin{array}{cccc}
\mid & \mid & & \mid\\
\partial_{1}f\left(a\right) & \partial_{2}f\left(a\right) & \cdots & \partial_{k}f\left(a\right)\\
\mid & \mid & & \mid
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\left(a\right) & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\left(a\right) & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{k}}\left(a\right)\\
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}\left(a\right) & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\left(a\right) & \cdots & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{k}}\left(a\right)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}\left(a\right) & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{2}}\left(a\right) & \cdots & \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{k}}\left(a\right)
\end{array}\right]
\]התוצאה הזו אינה מקרית: הרי הנגזרת מנסה "לחקות" את \(f\) באמצעות מטריצה (העתקה ליניארית) והעמודה ה-\(j\) היא זו שקולטת את המשתנה ה-\(j\), כלומר העמודה ה-\(j\) בנגזרת היא בדיוק אותו חלק שמנה "לחקות" את אופן הפעולה של \(f\) לפי המשתנה ה-\(j\); ובצורה דומה השורה ה-\(i\) של מטריצה היא בדיוק זו שקובעת את הקואורדינטה ה-\(i\) של תוצאת הכפל של מטריצה בווקטור, כלומר השורה ה-\(i\) של הנגזרת היא בדיוק אותו חלק בנגזרת שמנסה "לחקות" את \(f_{i}\).
\(\clubsuit\)
המסקנה הזו מאפשרת לנו לבדוק בקלות יחסית אם פונקציה גזירה בנקודה, איננו צריכים לבדוק את כל ההעתקות הליניאריות - אם הפונקציה גזירה אז המטריצה המייצגת של הנגזרת חייבת להיות זו שנקבעת ע"פ הנגזרות החלקיות.
\(\clubsuit\)
מהגדרה נובע שהנגזרת הכיוונית בכיוון מאונך לגרדיאנט היא \(0\).
\(\clubsuit\)
כלומר הגרדיאנט "מצביע" על הכיוון שבו הפונקציה תלולה יותר מבכל כיוון אחר, בכיוון הגרדיאנט נמצאת העלייה התלולה ובכיוון הנגדי הירידה.
האם באמת אין שום קשר למהירות רגעית?
הגדרה 1.1. גזירות (דיפרנציאביליות) של פונקציה בנקודה תהיינה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(f:A\rightarrow\MKreal^{m}\), נאמר ש-\(f\)גזירה (או דיפרנציאבילית) בנקודה פנימית \(a\in A\) אם קיימת העתקה ליניארית \(T:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{m}\) כך שמתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{f\left(a+x\right)-\left(T\left(x\right)+f\left(a\right)\right)}{\left\Vert x\right\Vert }=0
\]אנחנו נראה בקובץ הטענות שאם קיימת העתקה ליניארית כזו אז היא יחידה ולכן נסמן אותה ב-\(Df_{a}\) ונקרא לה הנגזרת (או הדיפרנציאל) של \(f\) בנקודה \(a\), אם \(f\) היא מסילה אז נסמן את הנגזרת גם ב-\(f'\left(a\right)\). נאמר ש-\(f\)גזירה/דיפרנציאבילית בקבוצה פתוחה\(U\subseteq A\) אם היא גזירה בכל נקודה ב-\(U\), כמו כן נאמר ש-\(f\)גזירה/דיפרנציאבילית אם היא גזירה בכל תחום הגדרתה.
מסקנה 1.2. תהא \(f\) פונקציה, \(f\) גזירה בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\) אם"ם לכל \(m\geq i\in\MKnatural\) הפונקציה \(f_{i}\) גזירה ב-\(a\).
הגדרה 1.3. נגזרות כיווניות ונגזרות חלקיות תהיינה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(f:A\rightarrow\MKreal^{m}\) ויהי \(v\in\MKreal^{k}\), נאמר של-\(f\) יש נגזרת כיוונית בנקודה פנימית \(a\in A\)בכיוון\(v\) אם קיים הגבול:\[
\lim_{t\rightarrow0}\frac{f\left(a+t\cdot v\right)-f\left(a\right)}{t}
\]ובמקרה כזה נסמן את הגבול הנ"ל ב-\(\partial_{v}f\left(a\right)\) ונקרא לו הנגזרת הכיוונית של \(f\)בכיוון\(v\) בנקודה \(a\). עבור איברי הבסיס הסטנדרטי הנגזרות הכיווניות נקראות גם נגזרות חלקיות ומסומנות ע"י \(\partial_{i}f\left(a\right):=\partial_{e_{i}}f\left(a\right)\) לכל \(k\geq i\in\MKnatural\).
מגדירים נגזרת כיוונית עבור וקטור האפס?
הגדרה 1.4. הגרדיאנט תהיינה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(f:A\rightarrow\MKreal\), הגרדיאנט של \(f\) בנקודה פנימית \(a\in A\) הוא הווקטור:\[
\nabla f\left(a\right):=\begin{bmatrix}\partial_{1}f\left(a\right)\\
\partial_{2}f\left(a\right)\\
\vdots\\
\partial_{k}f\left(a\right)
\end{bmatrix}
\]
הגדרה 1.5. תהא \(f\) פונקציה גזירה בקבוצה פתוחה \(U\subseteq\MKreal^{k}\), פונקציית הנגזרת של \(f\) ב-\(U\) היא הפונקציה \(Df:U\rightarrow\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{m}\right)\) המוגדרת ע"י (לכל \(a\in U\) ולכל \(x\in\MKreal^{k}\)):\[
Df\left(a\right)x:=Df_{a}\left(x\right)
\]
הגדרה 1.6. תהא \(f\) פונקציה גזירה, נאמר ש-\(f\)גזירה ברציפות בקבוצה פתוחה \(U\subseteq\MKreal^{k}\) אם \(Df\) רציפה7הרציפות של \(Df\) נקבעת ע"פ הנורמה ב-\(\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{m}\right)\) כלומר ע"פ הנורמה האופרטורית. ב-\(U\); כמו כן נאמר ש-\(f\)גזירה ברציפות אם היא גזירה ברציפות בכל תחום הגדרתה.
\(\:\)
משפט 1.7. גזירות גוררת רציפות תהא \(f\) פונקציה גזירה בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\), \(f\) גם רציפה ב-\(a\).
משפט 1.8. יחידות הנגזרת תהא \(f\) פונקציה גזירה בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\) ותהיינה \(T_{1},T_{2}\in\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{m}\right)\) כך שמתקיים8כלומר \(T_{1}\) ו-\(T_{2}\) מקיימות את הנדרש כדי ש-\(f\) תהיה גזירה ב-\(a\).:\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{f\left(a+x\right)-\left(T_{1}\left(x\right)+f\left(a\right)\right)}{\left\Vert x\right\Vert }=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f\left(a+x\right)-\left(T_{2}\left(x\right)+f\left(a\right)\right)}{\left\Vert x\right\Vert }=0
\]מתקיים \(T_{1}=T_{2}\).
טענה 1.9. תהא \(T:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{m}\) העתקה ליניארית, יהי \(b\in\MKreal^{m}\) ותהא \(f:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{m}\) פונקציה המוגדרת ע"י (לכל \(v\in\MKreal^{k}\)):\[
f\left(v\right):=T\left(v\right)+b
\]\(f\) גזירה בכל נקודה ולכל \(a\in\MKreal^{k}\) מתקיים \(Df_{a}=T\).
משפט 1.10. תהא \(f\) פונקציה גזירה בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\), לכל \(v\in\MKreal^{k}\) הנגזרת הכיוונית \(D_{v}f\left(a\right)\) קיימת ומתקיים \(\partial_{v}f\left(a\right)=Df_{a}\left(v\right)\).
מסקנה 1.11. תהא \(f\) פונקציה גזירה בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\), העמודה ה-\(j\) של \(Df_{a}\) היא הנגזרת החלקית \(\partial_{j}f\left(a\right)\) לכל \(k\geq j\in\MKnatural\).
מסקנה 1.12. תהיינה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(f:A\rightarrow\MKreal\) כך ש-\(f\) גזירה בנקודה פנימית \(a\in A\), לכל \(v\in\MKreal^{k}\) מתקיים:\[
\partial_{v}f\left(a\right)=Df_{a}\left(v\right)=\left\langle \nabla f\left(a\right)\mid v\right\rangle
\]
מסקנה 1.13. תהיינה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(f:A\rightarrow\MKreal\) כך ש-\(f\) גזירה בנקודה פנימית \(a\in A\), לכל וקטור יחידה \(u\in\MKreal^{k}\) מתקיים \(\left|Df_{a}\left(u\right)\right|\leq\left\Vert \nabla f\left(a\right)\right\Vert \), ואם בנוסף \(\nabla f\left(a\right)\neq0\) אז:\[
Df_{a}\left(\pm\frac{\nabla f\left(a\right)}{\left\Vert \nabla f\left(a\right)\right\Vert }\right)=\pm\left\Vert \nabla f\left(a\right)\right\Vert
\]
משפט 1.14. תהא \(f\) פונקציה, אם כל הנגזרות החלקיות של \(f\) בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\), קיימות בסביבה של \(a\) ורציפות ב-\(a\), אז \(f\) גזירה ב-\(a\).
הוכחה. \(\:\)
ראשית נשים לב לכך שניתן להניח בהג"כ שהטווח של \(f\) הוא \(\MKreal\): נפרק את \(f\) לרכיבים - אם היא הנגזרות החלקיות שלה רציפות ב-\(a\) אז הדבר נכון לכל רכיב הנפרד, ואם כל רכיב בנפרד גזיר אז גם \(f\) גזירה. א"כ נניח שהטווח של \(f\) הוא \(\MKreal\), מכאן שאם \(f\) גזירה אז הנגזרת שלה היא מטריצת השורה (מסקנה 1.5):\[
\left[\begin{array}{cccc}
\partial_{1}f\left(a\right) & \partial f_{2}\left(a\right) & \ldots & \partial f_{k}\left(a\right)\end{array}\right]
\]א"כ אנחנו רוצים להוכיח כי:\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)-\sum_{j=1}^{k}\partial_{j}f\left(a\right)\cdot\left(x_{j}-a_{j}\right)}{\left\Vert x-a\right\Vert }=0
\]
יהי \(y\in\MKreal^{k}\) כך ש-\(y\) מוכל בסביבה של \(a\); לכל \(k\geq j\in\MKnatural\) נסמן ב-\(I_{j}\) את הקטע \(\left[a_{j},y_{j}\right]\) (אם \(y_{j}\geq a_{j}\)) או את הקטע \(\left[y_{j},a_{j}\right]\) (אם \(y_{j}\leq a_{j}\))9אם \(y_{j}=a_{j}\) אז מהגדרה \(I_{j}=\left\{ y_{j}\right\} =\left\{ a_{j}\right\} \)., ונגדיר פונקציה \(g_{j}:I_{j}\rightarrow\MKreal\) ע"י (לכל \(t\in I_{j}\)):\[
g_{j}\left(t\right):=f\left(a+t\cdot e_{j}+\sum_{i=1}^{j-1}\left(y_{i}-a_{j}\right)\cdot e_{i}\right)
\]\[\begin{align*}
\Rightarrow f\left(y\right)-f\left(a\right) & =f\left(\sum_{j=1}^{k}y_{j}\cdot e_{j}\right)-f\left(a\right)=f\left(a+\sum_{j=1}^{k}\left(y_{j}-a_{j}\right)\cdot e_{j}\right)-f\left(a\right)\\
& =\sum_{j=1}^{k}\left(f\left(a+\sum_{i=1}^{j}\left(y_{i}-a_{j}\right)\cdot e_{i}\right)-f\left(a+\sum_{i=1}^{j-1}\left(y_{i}-a_{j}\right)\cdot e_{i}\right)\right)\\
& =\sum_{j=1}^{k}\left(g_{j}\left(y_{j}\right)-g_{j}\left(a_{j}\right)\right)
\end{align*}\]
\(\clubsuit\)
מה שעשינו בעצם הוא לפרק את הווקטור \(y-a\) לרכיבים ולמדוד את השינוי של \(f\) בכל רכיב, כמובן שסכום השינויים הוא השינוי הכללי. נוכל כעת להציג את הביטוי שאנו רוצים לחשב את גבולו באופן הבא10כפי שנראה בהמשך לא תהיה בעיה אם המקרה שבו \(x_{j}=a_{j}\).:\[
\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)-\sum_{j=1}^{k}\partial_{j}f\left(a\right)\cdot\left(x_{j}-a_{j}\right)}{\left\Vert x-a\right\Vert }=\sum_{j=1}^{k}\left(\frac{g_{j}\left(x_{j}\right)-g_{j}\left(a_{j}\right)}{x_{j}-a_{j}}-\partial_{j}f\left(a\right)\right)\cdot\frac{x_{j}-a_{j}}{\left\Vert x-a\right\Vert }=0
\]בשלב הבא נראה ש-\(g_{j}\) רציפה על הקטע הסגור וגזירה על פנים הקטע, ולכן ממשפט לגראנז' נקבל שהביטוי \(\frac{g_{j}\left(x_{j}\right)-g_{j}\left(a_{j}\right)}{x_{j}-a_{j}}\) שווה לנגזרת של \(g\) בנקודה שבין \(x_{j}\) ל-\(a_{j}\), ואז מהרציפות של הנגזרות החלקיות נקבל:\[
\lim_{x\rightarrow a}\sum_{j=1}^{k}\left(\frac{g_{j}\left(x_{j}\right)-g_{j}\left(a_{j}\right)}{x_{j}-a_{j}}-\partial_{j}f\left(a\right)\right)=0
\]וכל מה שנותר לנו הוא לשים לב לכך ש-\(\frac{x_{j}-a_{j}}{\left\Vert x-a\right\Vert }\) הוא גודל חסום.
מהגדרה לכל \(k\geq j\in\MKnatural\) ולכל \(t\in I_{j}^{\circ}\) מתקיים11אם קיים \(k\geq j\in\MKnatural\) כך ש-\(y_{j}=a_{j}\) אז \(I_{j}^{\circ}=\emptyset\) וטענה זו מתקיימת באופן ריק, אנחנו נראה בהמשך שלא נזדקק לכך ש-\(I_{j}^{\circ}\neq\emptyset\) לכל \(k\geq j\in\MKnatural\).:\[\begin{align*}
g_{j}'\left(t\right) & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{g_{j}\left(t+h\right)-g_{j}\left(t\right)}{h}\\
& =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(h\cdot e_{j}+a+t\cdot e_{j}+\sum_{i=1}^{j-1}\left(y_{i}-a_{j}\right)\cdot e_{i}\right)-f\left(a+t\cdot e_{j}+\sum_{i=1}^{j-1}\left(y_{i}-a_{j}\right)\cdot e_{i}\right)}{h}\\
& =\partial_{j}f\left(a+t\cdot e_{j}+\sum_{i=1}^{j-1}y_{i}\cdot e_{i}\right)
\end{align*}\]כלומר \(g_{j}\) גזירה בפנים הקטע \(I_{j}\) והנגזרת שלה היא הנגזרת החלקית ה-\(j\) של \(f\). מכאן שע"פ משפט הערך הממוצע (אינפי'1), לכל \(k\geq j\in\MKnatural\) קיים \(c_{j}\in\left(0,1\right)\) כך שמתקיים12שוויון זה הוא טריוויאלי במקרה שבו \(y_{j}=a_{j}\) ולכן אין צורך בכך ש-\(I_{j}^{\circ}\neq\emptyset\).:\[
g_{j}\left(y_{j}\right)-g_{j}\left(a_{j}\right)=g'\left(c_{j}\cdot\left(y_{j}-a_{j}\right)\right)\cdot\left(y_{j}-a_{j}\right)
\]ולפיכך קיימים \(c_{1},c_{2},\ldots,c_{k}\in\left(0,1\right)\) כך שמתקיים:\[
f\left(y\right)-f\left(a\right)=\sum_{j=1}^{k}\left(g_{j}\left(y_{j}\right)-g_{j}\left(a_{j}\right)\right)=\sum_{j=1}^{k}\partial_{j}f\left(a+c_{j}\cdot\left(y_{j}-a_{j}\right)\cdot e_{j}+\sum_{i=1}^{j-1}y_{i}\cdot e_{i}\right)\cdot\left(y_{j}-a_{j}\right)
\]
א"כ יהי \(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(B_{r}\left(a\right)\) מוכל בתחום ההגדרה של \(f\), ולכל \(k\geq j\in\MKnatural\) תהא \(c_{j}:B_{r}\left(a\right)\rightarrow\left(0,1\right)\) פונקציה כך שלכל \(x\in B_{r}\left(a\right)\) יתקיים:\[
f\left(x\right)-f\left(a\right)=\sum_{j=1}^{k}\partial_{j}f\left(a+c_{j}\left(x\right)\cdot\left(x_{j}-a_{j}\right)\cdot e_{j}+\sum_{i=1}^{j-1}x_{i}\cdot e_{i}\right)\cdot\left(x_{j}-a_{j}\right)
\]מכאן שלכל \(a\neq x\in B_{r}\left(a\right)\) מתקיים:\[
\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)-\sum_{j=1}^{k}\partial_{j}f\left(a\right)\cdot\left(x_{j}-a_{j}\right)}{\left\Vert x-a\right\Vert }=\sum_{j=1}^{k}\left(\partial_{j}f\left(a+c_{j}\cdot\left(x_{j}-a_{j}\right)\cdot e_{j}+\sum_{i=1}^{j-1}x_{i}\cdot e_{i}\right)-\partial_{j}f\left(a\right)\right)\cdot\frac{x_{j}-a_{j}}{\left\Vert x-a\right\Vert }
\]כמו כן לכל \(a\neq x\in B_{r}\left(a\right)\) ולכל \(k\geq j\in\MKnatural\) מתקיים:\[\begin{align*}
& \lim_{x\rightarrow a}\left(\partial_{j}f\left(a+c_{j}\cdot\left(x_{j}-a_{j}\right)\cdot e_{j}+\sum_{i=1}^{j-1}x_{i}\cdot e_{i}\right)-\partial_{j}f\left(a\right)\right)=0 & \left|\frac{x_{j}-a_{j}}{\left\Vert x-a\right\Vert }\right|\leq1
\end{align*}\]קיום הגבול הנ"ל וערכו נובעים מהרציפות של הנגזרות החלקיות ב-\(a\), והא"ש שבצד ימין נובע ישירות מהגדרת הנורמה.\[
\Rightarrow\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)-\sum_{j=1}^{k}\partial_{j}f\left(a\right)\cdot\left(x_{j}-a_{j}\right)}{\left\Vert x-a\right\Vert }=0
\]כלומר \(f\) גזירה ב-\(a\).
טענה 1.15. תהא \(f\) פונקציה, \(f\) גזירה ברציפות בקבוצה פתוחה \(U\subseteq\MKreal^{k}\) אם"ם הנגזרות החלקיות שלה רציפות בכל נקודה ב-\(U\).
\(\:\)
2 כללי גזירה
2.1 הגדרות
אין הגדרות בפרק זה.
משפט 2.1. גזירה היא פעולה ליניארית תהיינה \(f\) ו-\(g\) פונקציות דיפרנציאביליות בנקודה \(x\in\MKreal^{k}\) ויהיו \(\alpha,\beta\in\MKreal\), מתקיים:\[
D_{\alpha\cdot f+\beta\cdot g}\left(x\right)=\alpha\cdot D_{f}\left(x\right)+\beta\cdot D_{g}\left(x\right)
\]
משפט 2.2. כלל השרשרת תהיינה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(B\subseteq\MKreal^{m}\) קבוצות פתוחות, ותהיינה \(f:A\rightarrow B\) ו-\(g:B\rightarrow\MKreal^{n}\) פונקציות כך ש-\(f\) גזירה בנקודה \(a\in A\) ו-\(g\) גזירה ב-\(f\left(a\right)\). הפונקציה \(g\circ f\) גזירה ב-\(a\) ומתקיים:\[
D\left(g\circ f\right)_{a}=Dg_{f\left(a\right)}\circ Df_{a}
\]
\(\clubsuit\)
אם מניחים את עניין הדיפרנציאביליות של \(g\circ f\) כלל השרשרת אינטואיטיבי למדי: אנחנו מקרבים את \(f\) ו-\(g\) באמצעות העתקות ליניאריות, היה זה מפתיע מאד אם הקירוב הליניארי של \(g\circ f\) לא היה הרכבת הקירובים של \(f\) ו-\(g\).
\(\clubsuit\)
האם המשפט עבור גזירה של פונקציה הופכית מאינפי'1נכון גם בממדים גבוהים? כנראה שלא. הנה התרגום שלו לממדים גבוהים:
משפט. גזירת פונקציה הופכית תהיינה \(A,B\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(f:A\rightarrow B\) פונקציה הפיכה, לכל \(b\in B\) כך ש-\(f\) גזירה ב-\(f^{-1}\left(b\right)\) וגם \(Df_{f^{-1}\left(b\right)}\) הפיכה מתקיים:\[
\left(Df^{-1}\right)_{b}=\left(Df_{f^{-1}\left(b\right)}\right)^{-1}
\]
אנחנו נוכיח בפרק הבא את משפט הפונקציה ההפוכה שנותן את אותה תוצאה אבל דורש ש-\(f\) תהיה גזירה ברציפות בסביבה של \(f^{-1}\left(b\right)\). מצד שני משפט הפונקציה ההפוכה אינו דורש ש-\(f\) תהיה הפיכה, אלא מוכיח שאם \(Df_{f^{-1}\left(b\right)}\) הפיכה אז קיימת סביבה של \(f^{-1}\left(b\right)\) שבה \(f\) הפיכה.
מסקנה 2.3. תהא \(f\) פונקציה גזירה בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\) ותהא \(g\) פונקציה גזירה ב-\(f\left(a\right)\), מתקיים:\[
\left\Vert D\left(g\circ f\right)_{a}\right\Vert _{op}\leq\left\Vert Dg_{f\left(a\right)}\right\Vert _{op}\cdot\left\Vert Df_{a}\right\Vert _{op}
\]
למה 2.4. תהיינה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(f:A\rightarrow\MKreal^{k}\) פונקציה הפיכה, אם \(f\) גזירה בנקודה פנימית \(a\in A\) ו-\(f^{-1}\) גזירה ב-\(f\left(a\right)\) אז מכלל השרשרת נובע כי:\[
\MKid\left(a\right)=\MKid'\left(a\right)=\left(Df^{-1}\right)_{f\left(a\right)}\circ Df\left(a\right)
\]ומכאן ש-\(\left(Df^{-1}\right)_{f\left(a\right)}=\left(Df\left(a\right)\right)^{-1}\)13בגלל שמדובר בהעתקות ליניאריות על אותו מרחב מספיק להראות הפיכות בכיוון אחד בלבד..
מסקנה 2.5. תהיינה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(f:A\rightarrow\MKreal^{k}\) פונקציה הפיכה וגזירה בנקודה פנימית \(a\in A\), אם \(Df_{a}\) אינה הפיכה אז \(f^{-1}\) אינה גזירה ב-\(f\left(a\right)\).
למה 2.6. תהא \(p:\MKreal^{n}\times\MKreal^{n}\rightarrow\MKreal\) פונקציית המכפלה הפנימית המוגדרת ע"י \(p\left(x,y\right):=\left\langle x\mid y\right\rangle \) לכל \(\left(x,y\right)\in\MKreal^{n}\times\MKreal^{n}\), \(p\) גזירה בכל נקודה ולכל \(\left(x,y\right)\in\MKreal^{n}\times\MKreal^{n}\) מתקיים:\[
Dp_{\left(x,y\right)}=\left[\begin{array}{cccc|cccc}
y_{1} & y_{2} & \cdots & y_{n} & x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\end{array}\right]
\]
משפט 2.7. כלל לייבניץ יהיו \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(f:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{n}\) כך ש-\(f\) גזירה בנקודה פנימית \(a\in A\), ויהיו \(B\subseteq\MKreal^{m}\) ו-\(g:\MKreal^{m}\rightarrow\MKreal^{n}\) כך ש-\(g\) גזירה בנקודה פנימית \(b\in B\). תהא \(h:\MKreal^{k}\times\MKreal^{m}\rightarrow\MKreal\) פונקציה המוגדרת ע"י \(h\left(x,y\right):=\left\langle f\left(x\right)\mid g\left(y\right)\right\rangle \) לכל \(\left(x,y\right)\in\MKreal^{k}\times\MKreal^{m}\), \(h\) גזירה ב-\(\left(a,b\right)\) ולכל \(\left(x,y\right)\in\MKreal^{k}\times\MKreal^{m}\) מתקיים:\[
Dh_{\left(a,b\right)}\left(x,y\right)=\left\langle g\left(b\right)\mid Df_{a}\left(x\right)\right\rangle +\left\langle f\left(a\right)\mid Dg_{b}\left(y\right)\right\rangle
\]
\(\:\)
3 יחסי הגומלין בין פונקציה לנגזרתה
3.1 הגדרות
\(\clubsuit\)
להלן שתי נקודות מבט על נגזרות גבוהות:
ראינו שהנגזרת של פונקציה \(f:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{m}\) היא פונקציה \(Df:\MKreal^{k}\rightarrow\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{m}\right)\), בליניארית1ראינו ש-\(\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{m}\right)\) איזומורפי ל-\(M_{k\times m}\left(\MKreal\right)\) שאיזומורפי ל-\(\MKreal^{k\cdot m}\), לכן נוכל להסתכל פונקציית הנגזרת כהעתקה מ-\(\MKreal^{k}\) ל-\(\MKreal^{k\cdot m}\) ולגזור אותה כרגיל. התהליך הזה לא נעצר כאן: הנגזרת השנייה היא פונקציה מ-\(\MKreal^{k}\) ל-\(\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{k\cdot m}\right)\) ולכן ניתן לגזור גם אותה ע"י אותו איזומורפיזם שהוזכר לעיל וחוזר חלילה.
בהגדרת הנגזרת לא היה שום צורך להניח שהתחום של הפונקציה הוא תת-קבוצה של \(\MKreal^{k}\) והטווח שלה הוא \(\MKreal^{m}\), ניתן היה לקחת כל פונקציה בין שני מרחבים נוצרים סופית (מעל \(\MKreal\)) - אנחנו יודעים שכל הנורמות על מרחבים נורמיים נוצרים סופית שקולות זו לזו ולכן זה לא משנה לפי אלו נורמות נחשב את הגבול שמופיע בהגדרת הנגזרת. לכן ניתן לקחת את פונקציית הנגזרת \(Df:\MKreal^{k}\rightarrow\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{m}\right)\) שהיא פונקציה בין שני מרחבים נורמיים נוצרים סופית ולגזור אותה ע"פ הגדרה; אנחנו נקבל פונקציה \(D^{2}f:\MKreal^{k}\rightarrow\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{m}\right)\right)\) שהיא הנגזרת השנייה, וגם היא פונקציה בין שני מרחבים נורמיים נוצרים סופית שניתן לגזור באמצעות אותה הגדרה ולקבל פונקציה \(D^{3}f:\MKreal^{k}\rightarrow\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{m}\right)\right)\right)\). א"כ הנגזרת ה-\(n\)-ית היא פונקציה שמקבלת נקודה ב-\(\MKreal^{k}\) ומחזירה העתקה ליניארית, ההעתקה הליניארית הזו מקבלת גם היא וקטור ב-\(\MKreal^{k}\) ומחזירה העתקה ליניארית - כך \(n-1\) פעמים עד שכאשר פועלת ההעתקה הליניארית ה-\(n\) על וקטור ב-\(\MKreal^{k}\) היא מחזירה וקטור ב-\(\MKreal^{m}\). מי שתכנת מעט והגיע לפונקציות שמחזירות פונקציות אינו מופתע לראות את הסימון \(T\left(v\right)\left(w\right)\) - \(T\) מקבלת קלט \(v\) ומחזירה פונקציה \(T\left(v\right)\) שמקבלת קלט \(w\) ומחזירה פלט \(T\left(v\right)\left(w\right)\), באותה אופן \(D^{n}f_{a}\left(v_{1}\right)\left(v_{2}\right)\ldots\left(v_{n-1}\right)\) היא העתקה ליניארית מ-\(\MKreal^{k}\) ל-\(\MKreal^{m}\) ואילו \(D^{n}f_{a}\left(v_{1}\right)\left(v_{2}\right)\ldots\left(v_{n}\right)\) הוא וקטור ב-\(\MKreal^{m}\).
בסופו של דבר שתי נקודות המבט הללו איזומורפיות ולכן נוכל להשתמש באיזו מהן שנרצה לפי העניין, בכיתה ראינו את נקודת המבט הראשונה אך באופן אישי אני מעדיף את נקודת המבט השנייה והיא זו שתשלוט בסיכומים אלו ללא עוררין.
\(\clubsuit\)
לא ראינו את ההגדרה הזו בכיתה אבל אני צריך אותה כדי לעבוד עם נקודת המבט השנייה.
\(\clubsuit\)
אם פונקציה \(f\) גזירה על קבוצה פתוחה \(U\subseteq A\) ניתן לדבר על פונקציית הנגזרת שלה באותה קבוצה שהיא פונקציה \(Df:U\rightarrow\MKhom\left(V,W\right)\)(, \(\MKhom\left(V,W\right)\) שגם הוא מרחב נורמי נוצר סופית ולכן ניתן לגזור גם את \(Df\) ע"פ אותה הגדרה ולדבר על הנגזרת השנייה של \(f\)בנקודה\(a\) שהיא הנגזרת של \(Df\) בנקודה \(a\), וכך לגבי נגזרת שלישית וכן הלאה; הנגזרת ה-\(n\)-ית של \(f\) בנקודה \(a\) מסומנת ב-\(D^{n}f\left(a\right)\).
סימון:
תהא \(f\) פונקציה גזירה \(n\) פעמים בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\), לכל \(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\in\MKreal^{k}\) נסמן:\[
D^{n}f_{a}\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right):=D^{n}f_{a}\left(v_{1}\right)\left(v_{2}\right)\ldots\left(v_{n}\right)
\]כלומר אנו מתייחסים לנגזרת ה-\(n\)-ית כפונקציה מ-\(\overset{\text{פעמים}\ n}{\overbrace{\MKreal^{k}\times\MKreal^{k}\ldots\times\MKreal^{k}}}\) ל-\(\MKreal^{m}\).
\(\clubsuit\)
עבור נגזרות חלקיות וכיווניות מסדר גבוה אין שום צורך בהגדרה נוספת - הנגזרת החלקית \(D_{v}f\) היא פונקציה מ-\(\MKreal^{k}\) ל-\(\MKreal^{m}\) ולכן ניתן לדבר על הנגזרת הכיוונית שלה בכל כיוון שהוא.
סימון:
תהיינה \(f\) פונקציה ו-\(a\in\MKreal^{k}\) נקודה כך שהנגזרת הכיוונית \(D_{v}f\) מוגדרת בסביבה של \(a\) )עבור \(v\in\MKreal^{k}\) כלשהו(, לכל \(u\in\MKreal^{k}\) נסמן14כמובן שהגבול אינו קיים בהכרח, אם הוא קיים אז נסמן אותו ב-\(\partial_{vu}f\left(a\right)\).:\[
\partial_{vu}f\left(a\right):=\partial_{u}\partial_{v}f\left(a\right)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{\partial_{v}f\left(a+t\cdot u\right)-\partial_{v}f\left(a\right)}{t}
\]\(D_{vu}f\) תיקרא נגזרת כיוונית מסדר שני, עבור איברי הבסיס הסטנדרטי הנגזרות הכיווניות מסדר שני נקראות גם נגזרות חלקיות מסדר שני או נגזרות מעורבות, ומסומנות ע"י )לכל \(k\geq i,j\in\MKnatural\)(\[
\partial_{ij}f\left(a\right):=\partial_{e_{i}e_{j}}f\left(a\right):=\left(\partial_{e_{j}}\partial_{e_{i}}f\right)\left(a\right)=\partial_{j}\partial_{i}f\left(a\right)
\]
הגדרה 3.1. גזירות (דיפרנציאביליות) של פונקציה בנקודה במרחב וקטורי כללי יהיו \(V\) ו-\(W\) מרחבים נורמיים נוצרים סופית מעל \(\MKreal\), תהא \(A\subseteq V\) ותהא \(f:A\rightarrow V\). נאמר ש-\(f\)גזירה (או דיפרנציאבילית) בנקודה פנימית \(a\in A\) אם קיימת העתקה ליניארית \(T:V\rightarrow W\) כך שמתקיים:\[
\lim_{v\rightarrow0}\frac{f\left(a+v\right)-\left(T\left(v\right)+f\left(a\right)\right)}{\left\Vert v\right\Vert }=0
\]אנחנו נראה בקובץ הטענות שאם קיימת העתקה ליניארית כזו אז היא יחידה ולכן נסמן אותה ב-\(Df_{a}\) ונקרא לה הנגזרת (או הדיפרנציאל) של \(f\) בנקודה \(a\), אם \(f\) היא מסילה אז נסמן את הנגזרת גם ב-\(f'\left(a\right)\). נאמר ש-\(f\)גזירה/דיפרנציאבילית בקבוצה פתוחה\(U\subseteq A\) אם היא גזירה בכל נקודה ב-\(U\), כמו כן נאמר ש-\(f\)גזירה/דיפרנציאבילית אם היא גזירה בכל תחום הגדרתה.
כן, אני יודע שזה הפוך מאיך שסימנתי את הנגזרות החלקיות באנליזה אלמנטרית, לא מצאתי שום מקור שתומך בסימון מאנליזה ולעומת זאת בוויקיפדיה האנגלית מופיע סימון שתומך יותר בכיוון זה, ראו כאן.
הגדרה 3.2. מטריצת הסיאן15נקראת על שמו של לודוויג אוטו הסה, ערך בוויקיפדיה האנגלית: Otto Hesse. תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה כך שכל הנגזרות החלקיות מסדר שני של \(f\) ב-\(a\) קיימות, מטריצת ההסיאן של \(f\) בנקודה \(a\) היא מטריצה \(H\left(f\right)\in M_{k}\left(\MKreal\right)\) המוגדרת ע"י:\[
\left[H\left(f\right)\right]_{ij}:=\partial_{ji}f\left(a\right)=\partial_{i}\partial_{j}f\left(a\right)
\]כלומר:\[
H\left(f\right):=\left[\begin{array}{cccc}
\partial_{11}f\left(a\right) & \partial_{21}f\left(a\right) & \cdots & \partial_{k1}f\left(a\right)\\
\partial_{21}f\left(a\right) & \partial_{22}f\left(a\right) & \cdots & \partial_{k2}f\left(a\right)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\partial_{k1}f\left(a\right) & \partial_{k2}f\left(a\right) & \cdots & \partial_{kk}f\left(a\right)
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}
\partial_{1}\partial_{1}f\left(a\right) & \partial_{1}\partial_{2}f\left(a\right) & \cdots & \partial_{1}\partial_{k}f\left(a\right)\\
\partial_{2}\partial_{1}f\left(a\right) & \partial_{2}\partial_{2}f\left(a\right) & \cdots & \partial_{2}\partial_{k}f\left(a\right)\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\partial_{k}\partial_{1}f\left(a\right) & \partial_{k}\partial_{2}f\left(a\right) & \cdots & \partial_{k}\partial_{k}f\left(a\right)
\end{array}\right]
\]
הגדרה 3.3. נקודות קיצון כלליות תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה.
נאמר שנקודה \(a\in A\) היא נקודת מקסימום של \(f\) אם לכל \(x\in A\) מתקיים \(f\left(x\right)\leq f\left(a\right)\).
נאמר שנקודה \(a\in A\) היא נקודת מינימום של \(f\) אם לכל \(x\in A\) מתקיים \(f\left(x\right)\leq f\left(a\right)\).
הגדרה 3.4. נקודות קיצון מקומיות תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה.
נאמר שנקודה פנימית \(a\in A\) היא נקודת מקסימום מקומית של \(f\) אם קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(x\in B_{\delta}\left(a\right)\) מתקיים \(f\left(a\right)\geq f\left(x\right)\).
נאמר שנקודה פנימית \(a\in A\) היא נקודת מינימום מקומית של \(f\) אם קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(x\in B_{\delta}\left(a\right)\) מתקיים \(f\left(a\right)\leq f\left(x\right)\).
הגדרה 3.5. נקודות קריטיות תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה, נאמר שנקודה פנימית \(a\in A\) היא נקודה קריטית אם \(f\) גזירה ב-\(a\) ו-\(Df_{a}=0\).
הגדרה 3.6. נקודת אוכף תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה, נאמר שנקודה פנימית \(a\in A\) היא נקודת אוכף אם \(f\) גזירה ב-\(a\) ו-\(Df_{a}=0\) אך \(a\) אינה נקודת קיצון, כלומר נקודת אוכף היא נקודה קריטית שאינה נקודת קיצון.
הגדרה 3.7. פולינום טיילור16ערך בוויקיפדיה: טיילור ברוק. מסדר \(n\) של פונקציה בנקודה תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal^{m}\) פונקציה גזירה \(n\) פעמים בנקודה פנימית \(a\in A\). פולינום טיילור מסדר\(n\)של\(f\)בנקודה\(a\) הוא הפונקציה \(P_{n,f,a}:\MKreal^{k}\rightarrow\MKreal^{m}\) המוגדרת ע"י )לכל \(x\in\MKreal^{k}\)(:\[
P_{n,f,a}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\cdot D^{k}f_{a}\left(\overset{\text{פעמים}\ k}{\overbrace{x,x,\ldots,x}}\right)
\]
\(\:\)
תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\).
3.2 התחלה
סימון:
לכל \(a,b\in\MKreal^{k}\) נסמן \(\left[a,b\right]:=\left\{ a+t\cdot\left(b-a\right)\mid t\in\left[0,1\right]\right\} \).
\(\clubsuit\)
מהגדרה \(\left[a,b\right]=\left[b,a\right]\).
\(\clubsuit\)
זוהי הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' מאינפי'1 - אם \(k=1\) אז \(Df_{a+t\cdot\left(b-a\right)}\left(b-a\right)=f'\left(a+t\cdot\left(b-a\right)\right)\cdot\left(b-a\right)\), כלומר:\[
\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}=f'\left(a+t\cdot\left(b-a\right)\right)
\]
משפט 3.8. משפט הערך הממוצע נניח ש-\(A\) היא קבוצה פתוחה, תהיינה \(a,b\in A\) כך ש-\(\left[a,b\right]\subseteq A\) ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה גזירה. קיים \(t\in\left(0,1\right)\) כך שמתקיים:\[
f\left(b\right)-f\left(a\right)=Df_{a+t\cdot\left(b-a\right)}\left(b-a\right)
\]
למה 3.9. תהא \(\gamma:\left[0,1\right]\rightarrow\MKreal^{m}\) מסילה גזירה ב-\(\left(0,1\right)\) ורציפה ב-\(\left[0,1\right]\) כך שהקבוצה \(\left\{ \left\Vert D\gamma_{t}\right\Vert _{\MKop}:t\in\left(0,1\right)\right\} \) חסומה ונסמן ב-\(M\) את החסם העליון שלה, מתקיים:\[
\left\Vert \gamma\left(1\right)-\gamma\left(0\right)\right\Vert \leq M
\]
הוכחה. תהיינה \(f:\left[0,1\right]\rightarrow\MKreal\) פונקציות המוגדרות ע"י )לכל \(t\in\left[0,1\right]\)(:\[\begin{align*}
f\left(t\right) & :=\left\Vert \gamma\left(t\right)-\gamma\left(0\right)\right\Vert =\sqrt{\left\langle \gamma\left(t\right)-\gamma\left(0\right)\mid\gamma\left(t\right)-\gamma\left(0\right)\right\rangle }\\
g\left(t\right) & :=f^{2}\left(t\right)=\left\langle \gamma\left(t\right)-\gamma\left(0\right)\mid\gamma\left(t\right)-\gamma\left(0\right)\right\rangle
\end{align*}\]נסמן \(x:=\sup\left\{ t\in\left[0,1\right]:f\left(t\right)=0\right\} \); \(x\) אכן מוגדר היטב מפני שהקבוצה הנ"ל חסומה מלעיל ע"פ הגדרתה, ואינה ריקה משום ש-\(0\) שייך אליה. נשים לב לכך שמהיות \(f\) רציפה נובע ש-\(f\left(x\right)=0\)17מהאפיון השני של החסם העליון נובע שלכל \(0<\varepsilon\in\MKreal\) קיים \(t\in\left(x-\varepsilon,x\right)\) כך ש-\(f\left(t\right)=0\)., כלומר \(x=\max\left\{ t\in\left[0,1\right]:f\left(t\right)=0\right\} \). מכאן שאם \(x=1\) אז קיבלנו את המבוקש:\[
\left\Vert \gamma\left(1\right)-\gamma\left(0\right)\right\Vert =f\left(1\right)=f\left(x\right)=0\leq M
\]לכן נניח בהג"כ ש-\(x<1\). מכלל לייבניץ נובע כי )לכל \(t\in\left(0,1\right)\)(:\[
g'\left(t\right)=2\cdot\left\langle \gamma\left(t\right)-\gamma\left(0\right)\mid\gamma'\left(t\right)\right\rangle
\]ומכלל השרשרת נובע כי )לכל \(t\in\left(0,1\right)\) כך ש-\(f\left(t\right)\neq0\)(:\[
f'\left(t\right)=\frac{g'\left(t\right)}{2\cdot\sqrt{\left\langle \gamma\left(t\right)-\gamma\left(0\right)\mid\gamma\left(t\right)-\gamma\left(0\right)\right\rangle }}=\frac{g'\left(t\right)}{2\cdot f\left(t\right)}
\]מכאן שע"פ א"ש קושי-שוורץ מתקיים )לכל \(t\in\left(0,1\right)\) כך ש-\(f\left(t\right)\neq0\)(:\[
{\color{red}2\cdot f\left(t\right)}\cdot f'\left(t\right)=g'\left(t\right)\leq2\cdot\left\Vert \gamma\left(t\right)-\gamma\left(0\right)\right\Vert \cdot\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert ={\color{red}2\cdot f\left(t\right)}\cdot\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert
\]וממילא גם:\[
f'\left(t\right)\leq\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert \leq M
\]מהגדרה לכל \(t\in\left(x,0\right)\) מתקיים \(f\left(t\right)\neq0\) ולכן ממשפט לגראנז' )אינפי'1( נובע שמתקיים )עבור \(t\in\left(x,1\right)\) כלשהו(:\[
\left\Vert \gamma\left(1\right)-\gamma\left(0\right)\right\Vert <\frac{\left\Vert \gamma\left(1\right)-\gamma\left(0\right)\right\Vert }{1-x}=\frac{\left\Vert \gamma\left(1\right)-\gamma\left(0\right)\right\Vert -0}{1-x}=\frac{f\left(1\right)-f\left(x\right)}{1-x}=f'\left(t\right)\leq\left\Vert \gamma'\left(t\right)\right\Vert \leq M
\]
משפט 3.10. נניח ש-\(A\) היא קבוצה פתוחה תהיינה \(a,b\in A\) כך ש-\(\left[a,b\right]\subseteq A\) ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal^{m}\) פונקציה גזירה. נניח שהקבוצה \(\left\{ \left\Vert Df_{c}\right\Vert _{\MKop}:c\in\left[a,b\right]\right\} \) חסומה ונסמן ב-\(M\) את החסם העליון שלה, מתקיים:\[
\left\Vert f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\Vert \leq M\cdot\left\Vert b-a\right\Vert
\]כלומר אם הנגזרת של \(f\) חסומה אז \(f\) רציפה לפי ליפשיץ והחסם העליון על קבוצת הנורמות האופרטוריות של הנגזרות הוא קבוע ליפשיץ של \(f\).
הוכחה. תהא \(\gamma:\left[0,1\right]\rightarrow A\) המסילה המוגדרת ע"י \(\gamma\left(t\right):=a+t\cdot\left(b-a\right)\) לכל \(t\in\left[0,1\right]\), מהגדרה לכל \(t\in\left(0,1\right)\) מתקיים \(\left\Vert D\gamma_{t}\right\Vert _{\MKop}=\left\Vert b-a\right\Vert \) ולכן לכל \(t\in\left(0,1\right)\) מתקיים:\[
\left\Vert D\left(f\circ\gamma\right)_{t}\right\Vert _{\MKop}\leq\left\Vert Df_{\gamma\left(t\right)}\right\Vert _{\MKop}\cdot\left\Vert D\gamma_{t}\right\Vert _{\MKop}=M\cdot\left\Vert b-a\right\Vert
\]מהלמה )3.2( נובע כי:\[
\left\Vert f\left(b\right)-f\left(a\right)\right\Vert =\left\Vert \left(f\circ\gamma\right)\left(1\right)-\left(f\circ\gamma\right)\left(0\right)\right\Vert \leq M\cdot\left\Vert b-a\right\Vert
\]
3.3 נגזרות גבוהות
טענה 3.11. יהיו \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(f:A\rightarrow\MKreal^{m}\) כך ש-\(f\) גזירה פעמיים בנקודה פנימית \(a\in A\). \(D^{2}f_{a}\) היא פונקציה ביליניארית, כלומר לכל \(v,w,u\in\MKreal^{k}\) ולכל \(\alpha,\beta\in\MKreal\) מתקיים:\[\begin{align*}
D^{2}f_{a}\left(v\right)\left(\alpha\cdot w+\beta\cdot u\right) & =\alpha\cdot D^{2}f_{a}\left(v\right)\left(w\right)+\beta\cdot D^{2}f_{a}\left(v\right)\left(u\right)\\
D^{2}f_{a}\left(\alpha\cdot v+\beta\cdot u\right)\left(w\right) & =\alpha\cdot D^{2}f_{a}\left(v\right)\left(w\right)+\beta\cdot D^{2}f_{a}\left(u\right)\left(w\right)
\end{align*}\]
\(\clubsuit\)
למעשה הטענה נכונה גם עבור נגזרות מסדר גבוה יותר - נגזרת בנקודה, מכל סדר שהוא, היא פונקציה מולטי-ליניארית.
\(\clubsuit\)
נשים לב לכך שמתקיים:\[\begin{align*}
\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\left(a\right) & =\lim_{t\rightarrow0}\frac{\partial_{j}f\left(a+t\cdot e_{i}\right)-\partial_{j}f\left(a\right)}{t}=\lim_{t\rightarrow0}\frac{\lim_{s\rightarrow0}\frac{f\left(a+t\cdot e_{i}+s\cdot e_{j}\right)-f\left(a+t\cdot e_{i}\right)}{s}-\lim_{s\rightarrow0}\frac{f\left(a+s\cdot e_{j}\right)-f\left(a\right)}{s}}{t}\\
& =\lim_{t\rightarrow0}\frac{\lim_{s\rightarrow0}\frac{\left(f\left(a+t\cdot e_{i}+s\cdot e_{j}\right)-f\left(a+t\cdot e_{i}\right)\right)-\left(f\left(a+s\cdot e_{j}\right)-f\left(a\right)\right)}{s}}{t}\\
& =\lim_{t\rightarrow0}\left(\lim_{s\rightarrow0}\frac{\left(f\left(a+t\cdot e_{i}+s\cdot e_{j}\right)-f\left(a+t\cdot e_{i}\right)\right)-\left(f\left(a+s\cdot e_{j}\right)-f\left(a\right)\right)}{s\cdot t}\right)\\
& =\lim_{t\rightarrow0}\left(\lim_{s\rightarrow0}\frac{\left(f\left(a+t\cdot e_{i}+s\cdot e_{j}\right)-f\left(a+s\cdot e_{j}\right)\right)-\left(f\left(a+t\cdot e_{i}\right)-f\left(a\right)\right)}{s\cdot t}\right)
\end{align*}\]ובאותו אופן גם:\[
\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}\left(a\right)=\lim_{s\rightarrow0}\left(\lim_{t\rightarrow0}\frac{\left(f\left(a+t\cdot e_{i}+s\cdot e_{j}\right)-f\left(a+s\cdot e_{j}\right)\right)-\left(f\left(a+t\cdot e_{i}\right)-f\left(a\right)\right)}{s\cdot t}\right)
\]כלומר כל שעלינו לעשות הוא "להפוך" את סדר הגבולות.
הוכחה. השוויון הראשון נובע מהעובדה ש-\(D^{2}f_{a}\) היא העתקה ליניארית מ-\(\MKreal^{k}\) ל-\(\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{m}\right)\), ולכן \(D^{2}f_{a}\left(v\right)\) היא העתקה ליניארית. השוויון השני גם הוא נובע מהעובדה ש-\(D^{2}f_{a}\) היא העתקה ליניארית מ-\(\MKreal^{k}\) ל-\(\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{m}\right)\), כלומר \(D^{2}f_{a}\left(\alpha\cdot v+\beta\cdot u\right)=\alpha\cdot D^{2}f_{a}\left(v\right)+\beta\cdot D^{2}f_{a}\left(u\right)\) ולכן גם:\[
D^{2}f_{a}\left(\alpha\cdot v+\beta\cdot u\right)\left(w\right)=\left(\alpha\cdot D^{2}f_{a}\left(v\right)+\beta\cdot D^{2}f_{a}\left(u\right)\right)\left(w\right)=\alpha\cdot D^{2}f_{a}\left(v\right)\left(w\right)+\beta\cdot D^{2}f_{a}\left(u\right)\left(w\right)
\]
מסקנה 3.12. תהא \(f\) פונקציה גזירה פעמיים בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\), כל הנגזרות החלקיות מסדר שני של \(f\) ב-\(a\) קיימות ולכל \(k\geq i,j\in\MKnatural\) מתקיים:\[
D^{2}f_{a}\left(e_{i},e_{j}\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\left(a\right)=\frac{\partial_{j}f}{\partial x_{i}}\left(a\right)
\]
מסקנה 3.13. תהא \(f\) פונקציה גזירה פעמיים בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\), כל הנגזרות החלקיות מסדר שני של \(f\) ב-\(a\) קיימות ולכל \(x,y\in\MKreal^{k}\) מתקיים:\[
D^{2}f_{a}\left(x,y\right)=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{k}x_{i}\cdot y_{j}\cdot\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\left(a\right)=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{k}x_{i}\cdot y_{j}\cdot\frac{\partial_{j}f}{\partial x_{i}}\left(a\right)
\]
מסקנה 3.14. תהא \(f:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה גזירה פעמיים בנקודה פנימית \(a\in A\), לכל \(x,y\in\MKreal^{k}\) מתקיים:\[
D^{2}f_{a}\left(x,y\right)=y^{t}\cdot H\left(f\right)\cdot x=\left\langle y\mid H\left(f\right)\cdot x\right\rangle
\]כאשר \(H\left(f\right)\) היא מטריצת ההסיאן של \(f\) ב-\(a\).
משפט 3.15. תהא \(f\) פונקציה, אם כל הנגזרות החלקיות מסדר שני של \(f\) בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\) קיימות בסביבה של \(a\) ורציפות ב-\(a\), אז \(f\) גזירה פעמיים ב-\(a\).
משפט 3.16. משפט שוורץ18ערך בוויקיפדיה הרמן שוורץ. )או משפט קלרו19ערך בוויקיפדיה: אלכסיס קלרו. על שוויון פונקציות מעורבות( תהא \(f\) פונקציה גזירה פעמיים בסביבה של נקודה \(a\in\MKreal^{k}\), אם \(D^{2}f\) רציפה ב-\(a\) אז לכל \(k\geq i,j\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\left(a\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}\left(a\right)
\]
ניתן להוכיח את המשפט עבור כל קואורדינטה בנפרד, א"כ נניח בהג"כ שהטווח של \(f\) הוא \(\MKreal\). תהיינה \(g,h:\left(-r,r\right)^{2}\rightarrow\MKreal\) פונקציות המוגדרות ע"י )לכל \(s,t\in\left(-r,r\right)\)(:\[\begin{align*}
g\left(s,t\right) & :=f\left(a+s\cdot e_{i}+t\cdot e_{j}\right)-f\left(a+s\cdot e_{i}\right)\\
h\left(s,t\right) & :=f\left(a+s\cdot e_{i}+t\cdot e_{j}\right)-f\left(a+t\cdot e_{j}\right)
\end{align*}\]מכאן שלכל \(s,t\in\left(-r,r\right)\) מתקיים:\[\begin{align*}
g\left(s,t\right)-g\left(0,t\right) & =\left(f\left(a+s\cdot e_{i}+t\cdot e_{j}\right)-f\left(a+s\cdot e_{i}\right)\right)-\left(f\left(a+t\cdot e_{j}\right)-f\left(a\right)\right)\\
& =\left(f\left(a+s\cdot e_{i}+t\cdot e_{j}\right)-f\left(a+t\cdot e_{j}\right)\right)-\left(f\left(a+s\cdot e_{i}\right)-f\left(a\right)\right)=h\left(s,t\right)-h\left(s,0\right)
\end{align*}\]
מהגזירות של \(f\) פעם ראשונה נובע שכאשר מקבעים את אחד הרכיבים של \(g\) מקבלים פונקציה רציפה וגזירה על \(\left(-r,r\right)\), מכאן שע"פ משפט הערך הממוצע )אינפי'1( לכל \(s\in\left(-r,r\right)\) קיים \(\lambda_{s}\in\left(0,1\right)\) כך שמתקיים:\[
g\left(s,t\right)-g\left(0,t\right)=s\cdot\partial_{1}g\left(\lambda_{s}\cdot s,t\right)=s\cdot\left(\partial_{i}f\left(a+\lambda_{s}\cdot s\cdot e_{i}+t\cdot e_{j}\right)-\partial_{i}f\left(a+\lambda_{s}\cdot s\cdot e_{i}\right)\right)
\]ובאותו אופן מהגזירות של \(f\) פעם שנייה נובע שלכל \(s,t\in\left(-r,r\right)\) קיימים \(\lambda_{s},\lambda_{t}\in\left(0,1\right)\) כך שמתקיים:\[\begin{align*}
g\left(s,t\right)-g\left(0,t\right) & =s\cdot\left(\partial_{i}f\left(a+\lambda_{s}\cdot s\cdot e_{i}+t\cdot e_{j}\right)-\partial_{i}f\left(a+\lambda_{s}\cdot s\cdot e_{i}\right)\right)\\
& =s\cdot t\cdot\partial_{j}\partial_{i}f\left(a+\lambda_{s}\cdot s\cdot e_{i}+\lambda_{t}\cdot t\cdot e_{j}\right)
\end{align*}\]
מהרציפות של \(\partial_{j}\partial_{i}f\) ב-\(a\) נקבל שמתקיים:\[
\lim_{\left(s,t\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\frac{g\left(s,t\right)-g\left(0,t\right)}{s\cdot t}=\lim_{x\rightarrow a}\partial_{j}\partial_{i}f\left(x\right)=\frac{\partial f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}\left(a\right)
\]מצד שני באותה צורה נקבל שמתקיים:\[
\lim_{\left(s,t\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\frac{h\left(s,t\right)-h\left(s,0\right)}{s\cdot t}=\lim_{x\rightarrow a}\partial_{i}\partial_{j}f\left(x\right)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\left(a\right)
\]והרי כפי שהזכרנו לכל \(s,t\in\left(-r,r\right)\) מתקיים \(g\left(s,t\right)-g\left(0,t\right)=h\left(s,t\right)-h\left(s,0\right)\), כלומר מתקיים:\[
\frac{\partial f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\left(a\right)=\lim_{\left(s,t\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\frac{h\left(s,t\right)-h\left(s,0\right)}{s\cdot t}=\lim_{\left(s,t\right)\rightarrow\left(0,0\right)}\frac{g\left(s,t\right)-g\left(0,t\right)}{s\cdot t}=\frac{\partial f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}\left(a\right)
\]
מסקנה 3.17. תהא \(f\) פונקציה גזירה פעמיים בסביבה של נקודה \(a\in\MKreal^{k}\), אם \(D^{2}f\) רציפה ב-\(a\) אז מטריצת ההסיאן של \(f\) ב-\(a\) היא מטריצה סימטרית ולכן גם לכסינה.
3.4 נקודות קיצון
משפט 3.18. משפט פרמה תהא \(f:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה גזירה בנקודה פנימית \(a\in A\), אם \(a\) היא נקודת קיצון מקומית של \(f\) אז \(Df_{a}=0\), כלומר \(a\) היא נקודה קריטית.
משפט 3.19. משפט טיילור20ערך בוויקיפדיה: ברוק טיילור. תהא \(f\) פונקציה גזירה \(n\) פעמים בנקודה \(a\in\MKreal^{k}\), מתקיים:\[
\lim_{x\rightarrow a}\frac{f\left(x\right)-P_{f,n,a}\left(x\right)}{\left\Vert x-a\right\Vert }=0
\]
משפט טיילור אינו בחומר למבחן ולכן עוד לא כתבתי לו הוכחה.
תזכורת:
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\MKreal\) ותהא \(B:V\times V\rightarrow\MKreal\) תבנית ביליניארית.
\(B\) תיקרא חיובית בהחלט אם לכל \(0_{V}\neq v\in V\) מתקיים \(B\left(v,v\right)>0\).
\(B\) תיקרא חיובית למחצה אם לכל \(0_{V}\neq v\in V\) מתקיים \(B\left(v,v\right)\geq0\).
\(B\) תיקרא שלילית בהחלט אם לכל \(0_{V}\neq v\in V\) מתקיים \(B\left(v,v\right)<0\).
\(B\) תיקרא שלילית למחצה אם לכל \(0_{V}\neq v\in V\) מתקיים \(B\left(v,v\right)\leq0\).
מסקנה 3.20. תהא \(f:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה גזירה פעמיים בנקודה פנימית \(a\in A\) כך ש-\(Df_{a}=0\) )כלומר \(a\) היא נקודה קריטית(, מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
אם \(D^{2}f\) חיובית בהחלט אז \(a\) היא נקודת מינימום מקומית של \(f\).
אם \(D^{2}f\) שלילית בהחלט אז \(a\) היא נקודת מקסימום מקומית של \(f\).
אם \(a\) היא נקודת מינימום מקומית של \(f\) אז \(D^{2}f\) חיובית למחצה.
אם \(a\) היא נקודת מקסימום מקומית של \(f\) אז \(D^{2}f\) שלילית למחצה.
מסקנה 3.21. תהא \(f:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה גזירה פעמיים בסביבה של נקודה פנימית \(a\in A\) כך ש-\(Df_{a}=0\) )כלומר \(a\) היא נקודה קריטית( ו-\(D^{2}f\) רציפה ב-\(a\) )כלומר ההסיאן סימטרית(, מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
אם כל הערכים העצמיים של \(H\left(f\right)\) חיוביים אז \(a\) היא נקודת מינימום מקומית של \(f\).
אם כל הערכים העצמיים של \(H\left(f\right)\) שליליים אז \(a\) היא נקודת מקסימום מקומית של \(f\).
אם \(a\) היא נקודת מינימום מקומית של \(f\) אז כל הערכים העצמיים של \(H\left(f\right)\) אי-שליליים.
אם \(a\) היא נקודת מקסימום מקומית של \(f\) אז כל הערכים העצמיים של \(H\left(f\right)\) אי-חיוביים.
מסקנה 3.22. \(\:\)
4 משפט הפונקציה ההפוכה ומסקנותיו
4.1 הגדרות
הגדרה 4.1. נקודות קיצון כלליות בקבוצה תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal\) פונקציה.
נאמר שנקודה \(a\in A\) היא נקודת מקסימום של \(f\) ב-\(A\) אם לכל \(x\in A\) מתקיים \(f\left(x\right)\leq f\left(a\right)\).
נאמר שנקודה \(a\in A\) היא נקודת מינימום של \(f\) ב-\(A\)אם לכל \(x\in A\) מתקיים \(f\left(x\right)\geq f\left(a\right)\).
הגדרה 4.2. נקודות קיצון מקומיות שאינן פנימיות תהיינה \(U\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה ו-\(f:U\rightarrow\MKreal\) פונקציה, ותהא \(A\subseteq U\) קבוצה כלשהי )לאו דווקא פתוחה(.
נאמר שנקודה \(a\in A\) היא נקודת מקסימום מקומית של \(f\) ב-\(A\) אם קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(x\in B_{\delta}\left(a\right)\cap A\) מתקיים \(f\left(x\right)\leq f\left(a\right)\).
נאמר שנקודה \(a\in A\) היא נקודת מינימום מקומית של \(f\) ב-\(A\) אם קיימת \(0<\delta\in\MKreal\) כך שלכל \(x\in B_{\delta}\left(a\right)\cap A\) מתקיים \(f\left(x\right)\geq f\left(a\right)\).
4.2 משפט הפונקציה ההפוכה
למה 4.3. הדטרמיננטה היא פונקציה רציפה.
\(\clubsuit\)
כוונתנו כאן היא שהפונקציה \(\det:\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{k}\right)\rightarrow\MKreal\) היא פונקציה רציפה, כזכור הגדרנו את הדטרמיננטה של העתקה ליניארית ע"י הדטרמיננטה של מטריצה מייצגת שלה.
מסקנה 4.4. לכל \(T\in\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{k}\right)\) כך ש-\(T\) הפיכה קיים \(0<r\in\MKreal\) כך שלכל \(S\in B_{r}\left(T\right)\)21נזכיר ש-\(B_{r}\left(T\right)\) הוא כדור פתוח ב-\(\MKhom\left(\MKreal^{k},\MKreal^{k}\right)\) סביב \(T\). גם \(S\) הפיכה.
למה 4.5. תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\)קבוצה פתוחה, תהא \(f:A\rightarrow\MKreal^{m}\) פונקציה גזירה ברציפות, ויהיו \(a,b,c\in A\) כך ש-\(\left[b,c\right]\subseteq A\)22הדרישה שהנגזרת תהיה רציפה באה להבטיח שהיא חסומה על \(\left[b,c\right]\).; מתקיים:\[
\left\Vert f\left(c\right)-f\left(b\right)-Df_{a}\left(c-b\right)\right\Vert \leq\left\Vert c-b\right\Vert \cdot\max_{x\in\left[b,c\right]}\left\Vert Df_{x}-Df_{a}\right\Vert _{\MKop}
\]
למה 4.6. תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה ותהא \(g:A\rightarrow\MKreal^{k}\) פונקציה גזירה, אם קיים \(\varepsilon\in\left(0,1\right)\) כך שלכל \(x\in A\) מתקיים:\[
\left\Vert Dg_{x}-\MKid\right\Vert _{\MKop}\leq\varepsilon
\]אז לכל \(a\in A\) ולכל \(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(B_{r}\left(a\right)\subseteq A\) מתקיים )עבור אותו \(\varepsilon\)(:\[
B_{\left(1-\varepsilon\right)r}\left(g\left(a\right)\right)\subseteq g\left(B_{r}\left(a\right)\right)\subseteq B_{\left(1+\varepsilon\right)r}\left(g\left(a\right)\right)
\]
הוכחה. נניח שקיים \(\varepsilon\in\left(0,1\right)\) כך שלכל \(a\in A\) מתקיים \(\left\Vert Dg_{a}-\MKid\right\Vert _{\MKop}\leq\varepsilon\), ויהי \(\varepsilon\) כנ"ל.
יהיו \(a\in A\) ו-\(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(B_{r}\left(a\right)\subseteq A\), מא"ש המשולש ההפוך נובע כי:\[
\left|\left\Vert Dg_{a}\right\Vert _{\MKop}-1\right|=\left|\left\Vert Dg_{a}\right\Vert _{\MKop}-\left\Vert \MKid\right\Vert _{\MKop}\right|\leq\left\Vert Dg_{a}-\MKid\right\Vert _{\MKop}\leq\varepsilon
\]כלומר \(\left\Vert Dg_{a}\right\Vert _{\MKop}\leq1+\varepsilon\), ולכן ע"פ משפט 3.3 לכל \(x\in B_{r}\left(a\right)\) מתקיים:\[
\left\Vert g\left(x\right)-g\left(a\right)\right\Vert \leq\left(1+\varepsilon\right)\cdot\left\Vert x-a\right\Vert <\left(1+\varepsilon\right)\cdot r
\]כלומר \(g\left(B_{r}\left(a\right)\right)\subseteq B_{\left(1+\varepsilon\right)r}\left(g\left(a\right)\right)\).
כעת יהי \(y\in B_{\left(1-\varepsilon\right)r}\left(g\left(a\right)\right)\), ותהא \(h:A\rightarrow\MKreal^{k}\) פונקציה המוגדרת ע"י:\[
h\left(x\right):=-g\left(x\right)+x+y
\]
מהגדרה לכל \(x\in A\) מתקיים \(Dh_{x}=-Dg_{x}+\MKid\), ולכן גם:\[
\left\Vert Dh_{x}\right\Vert _{\MKop}=\left\Vert -Dg_{x}+\MKid\right\Vert _{\MKop}=\left\Vert Dg_{x}-\MKid\right\Vert _{\MKop}\leq\varepsilon
\]ומכאן שע"פ משפט 3.3 לכל \(x_{1},x_{2}\in A\) מתקיים:\[
\left\Vert h\left(x_{1}\right)-h\left(x_{2}\right)\right\Vert \leq\varepsilon\cdot\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert
\]
מכל אלו יחד נובע שהצמצום של \(h\) ל-\(\hat{B_{s}}\left(a\right)\) הוא העתקה מכווצת על מרחב שלם, ולכן ע"פ משפט ההעתקה המכווצת יש לו נקודת שבת, כלומר קיים \(x\in\hat{B_{s}\left(x\right)}\) כך שמתקיים:\[
0=\left\Vert h\left(x\right)-x\right\Vert =\left\Vert y-g\left(x\right)\right\Vert
\]מהגדרה \(s<r\) ולכן זה אומר שקיים \(x\in B_{r}\left(a\right)\) כך ש-\(g\left(x\right)=y\). \(y\) הנ"ל היה שרירותי ולכן לכל \(y\in B_{\left(1-\varepsilon\right)r}\left(a\right)\) קיים \(x\in A\) כך ש-\(g\left(x\right)=y\), כלומר \(B_{\left(1-\varepsilon\right)r}\left(a\right)\subseteq g\left(B_{r}\left(a\right)\right)\).
למה 4.7. תהיינה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה ו-\(a\in A\), ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal^{k}\) פונקציה חח"ע וגזירה ברציפות כך ש-\(Df_{a}\) הפיכה. אם קיים \(\varepsilon\in\left(0,1\right)\) כך שלכל \(x\in A\) מתקיים:\[
\left\Vert \left(Df_{a}\right)^{-1}\circ Df_{x}-\MKid\right\Vert _{\MKop}\leq\varepsilon
\]אז לכל \(a\in A\) ולכל \(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(B_{r}\left(a\right)\subseteq A\) מתקיים )עבור אותו \(\varepsilon\)(:\[
Df_{a}\left(B_{\left(1-\varepsilon\right)r}\left(\left(Df_{a}\right)^{-1}\left(f\left(a\right)\right)\right)\right)\subseteq f\left(B_{r}\left(a\right)\right)\subseteq Df_{a}\left(B_{\left(1+\varepsilon\right)r}\left(\left(Df_{a}\right)^{-1}\left(f\left(a\right)\right)\right)\right)
\]
הוכחה. נניח שקיים \(\varepsilon\in\left(0,\frac{1}{2}\right)\) כך שלכל \(a\in A\) מתקיים \(\left\Vert \left(Df_{a}\right)^{-1}\circ Df_{x}-\MKid\right\Vert _{\MKop}\leq\varepsilon\), ויהי \(\varepsilon\) כנ"ל. יהיו \(a\in A\) ו-\(0<r\in\MKreal\) כך ש-\(B_{r}\left(a\right)\subseteq A\), ונסמן \(g:=\left(Df_{a}\right)^{-1}\circ f\); מכלל השרשרת נובע כי )לכל \(x\in A\)(:\[
Dg_{x}=\left(Df_{a}\right)^{-1}\circ Df_{x}
\]ולכן לפי ההנחה מתקיים )לכל \(x\in A\)(:\[
\left\Vert Dg_{x}-\MKid\right\Vert _{\MKop}\leq\varepsilon
\]ומהלמה הקודמת )4.4( נובע כי:\[
B_{\left(1-\varepsilon\right)r}\left(g\left(a\right)\right)\subseteq g\left(B_{r}\left(a\right)\right)\subseteq B_{\left(1+\varepsilon\right)r}\left(g\left(a\right)\right)
\]ע"פ הגדרת \(g\) מתקיים:\[
f\left(B_{r}\left(a\right)\right)=Df_{a}\left(g\left(B_{r}\left(a\right)\right)\right)
\]ומכאן נובע כי:\[\begin{align*}
Df_{a}\left(B_{\left(1-\varepsilon\right)r}\left(\left(Df_{a}\right)^{-1}\left(f\left(a\right)\right)\right)\right) & =Df_{a}\left(B_{\left(1-\varepsilon\right)r}\left(g\left(a\right)\right)\right)\subseteq f\left(B_{r}\left(a\right)\right)\\
& \subseteq Df_{a}\left(B_{\left(1+\varepsilon\right)r}\left(g\left(a\right)\right)\right)=Df_{a}\left(B_{\left(1+\varepsilon\right)r}\left(\left(Df_{a}\right)^{-1}\left(f\left(a\right)\right)\right)\right)
\end{align*}\]
משפט 4.8. משפט הפונקציה ההפוכה תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה, ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal^{k}\) פונקציה גזירה ברציפות ב-\(A\) , ויהי \(a\in A\). אם \(Df_{a}\) הפיכה אז קיימת סביבה \(U\subseteq A\) של \(a\) כך ש-\(f\mid_{U}\) חח"ע ו-\(f\left(U\right)\) פתוחה, ובנוסף \(f^{-1}\)23למעשה \(f\) אינה בהכרח הפיכה ומדובר בהופכית של \(f\mid_{U}\). גזירה ברציפות ב-\(f\left(U\right)\) ולכל \(y\in f\left(U\right)\) מתקיים \(\left(Df^{-1}\right)_{y}=\left(Df_{f^{-1}\left(y\right)}\right)^{-1}\).
הוכחה. נניח ש-\(Df_{a}\) הפיכה, נסמן \(M:=2\cdot\left\Vert \left(Df_{a}\right)^{-1}\right\Vert _{\MKop}\), ויהי \(0<r\in\MKreal\) כך שלכל \(x\in B_{r}\left(a\right)\) הנגזרת \(Df_{x}\) תהיה הפיכה ובנוסף:\[
\left\Vert Df_{x}-Df_{a}\right\Vert _{\MKop}\leq\frac{1}{2\cdot\left\Vert \left(Df_{a}\right)^{-1}\right\Vert _{\MKop}}=\frac{1}{M}
\]מהיות \(f\) גזירה ברציפות, וממסקנה 4.2 נובע שאכן קיים \(r\) כזה.
נוכיח שהצמצום של \(f\) ל-\(B_{r}\left(a\right)\) הוא חח"ע. יהיו \(x_{1},x_{2}\in B_{r}\left(a\right)\), ע"פ למה 4.3 מתקיים:\[
\left\Vert f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)-Df_{a}\left(x_{1}-x_{2}\right)\right\Vert \leq\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert \cdot\max_{x\in\left[x_{1},x_{2}\right]}\left\Vert Df_{x}-Df_{a}\right\Vert _{\MKop}\leq\frac{\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert }{2\cdot\left\Vert \left(Df_{a}\right)^{-1}\right\Vert _{\MKop}}
\]\[\begin{align*}
\Rightarrow\left\Vert f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right\Vert & \geq\left\Vert Df_{a}\left(x_{1}-x_{2}\right)\right\Vert -\frac{\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert }{2\cdot\left\Vert \left(Df_{a}\right)^{-1}\right\Vert _{\MKop}}\\
& =\frac{1}{\left\Vert \left(Df_{a}\right)^{-1}\right\Vert _{\MKop}}\cdot\left(\left\Vert \left(Df_{a}\right)^{-1}\right\Vert _{\MKop}\cdot\left\Vert Df_{a}\left(x_{1}-x_{2}\right)\right\Vert -\frac{1}{2}\cdot\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert \right)\\
& \geq\frac{2}{M}\cdot\left(\left\Vert \left(Df_{a}\right)^{-1}\left(Df_{a}\left(x_{1}-x_{2}\right)\right)\right\Vert -\frac{1}{2}\cdot\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert \right)\\
& \frac{2}{M}\cdot\left(\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert -\frac{1}{2}\cdot\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert \right)=\frac{\left\Vert x_{1}-x_{2}\right\Vert }{M}
\end{align*}\]מכאן ש-\(f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\Longleftrightarrow x_{1}=x_{2}\), כלומר הצמצום של \(f\) ל-\(B_{r}\left(a\right)\) הוא חח"ע. בנוסף נובע מכאן ש-\(f^{-1}\)24ההופכית של הצמצום של \(f\) ל-\(B_{r}\left(a\right)\). רציפה לפי ליפשיץ ובפרט רציפה - לכל \(y_{1},y_{2}\in f\left(B_{r}\left(a\right)\right)\) מתקיים:\[
\left\Vert f\left(f^{-1}\left(y_{1}\right)\right)-f\left(f^{-1}\left(y_{2}\right)\right)\right\Vert \geq\frac{\left\Vert f^{-1}\left(y_{1}\right)-f^{-1}\left(y_{2}\right)\right\Vert }{M}
\]וממילא גם:\[
\left\Vert f^{-1}\left(y_{1}\right)-f^{-1}\left(y_{2}\right)\right\Vert \leq M\cdot\left\Vert f\left(f^{-1}\left(y_{1}\right)\right)-f\left(f^{-1}\left(y_{2}\right)\right)\right\Vert =M\cdot\left\Vert y_{1}-y_{2}\right\Vert
\]
נשים לב שאי אפשר לקחת את \(B_{r}\left(a\right)\) בתור הסביבה \(U\) שמבטיח המשפט מפני שאולי \(f\left(B_{r}\left(a\right)\right)\) אינה פתוחה. ע"פ למה 4.5 מתקיים:\[
V:=Df_{a}\left(B_{\frac{r}{2}}\left(\left(Df_{a}\right)^{-1}\left(f\left(a\right)\right)\right)\right)\subseteq f\left(B_{r}\left(a\right)\right)
\]\(V\) היא קבוצה פתוחה מפני ש-\(Df_{a}\) היא הומיאומורפיזם, ולכן אם נסמן \(U:=f^{-1}\left(V\right)\cap B_{r}\left(a\right)\) נקבל סביבה של \(a\)25מהגדרה \(a=Df_{a}\left(\left(Df_{a}\right)^{-1}\left(f\left(a\right)\right)\right)\in Df_{a}\left(B_{\frac{r}{2}}\left(\left(Df_{a}\right)^{-1}\left(f\left(a\right)\right)\right)\right)=V\) ולכן \(a\in f^{-1}\left(V\right)\cap B_{r}\left(a\right)=U\). כך ש-\(f\left(U\right)=V\) פתוחה; בנוסף \(f\) חח"ע ב-\(U\) מפני ש-\(U\subseteq B_{r}\left(a\right)\) ולכן יש ל-\(f\mid_{U}\) הופכית.
יהי \(b\in V\) ונסמן \(c:=f^{-1}\left(b\right)\), לכל \(y\in V\) קיים \(x\in U\) כך ש-\(f\left(x\right)=y\) ולכן גם:\[\begin{align*}
f^{-1}\left(y\right)-f^{-1}\left(b\right)-\left(Df_{f^{-1}\left(b\right)}\right)^{-1}\left(y-b\right) & =x-c-\left(Df_{c}\right)^{-1}\left(f\left(x\right)-f\left(c\right)\right)\\
& =-\left(Df_{c}\right)^{-1}\left(f\left(x\right)-f\left(c\right)-Df_{c}\left(x-c\right)\right)
\end{align*}\]וממילא )נזכור ש-\(f\) היא פונקציה רציפה לפי ליפשיץ עם קבוע ליפשיץ \(M\)(:\[\begin{align*}
\frac{\left\Vert f^{-1}\left(y\right)-f^{-1}\left(b\right)-\left(Df_{f^{-1}\left(b\right)}\right)^{-1}\left(y-b\right)\right\Vert }{\left\Vert y-b\right\Vert } & \leq M\cdot\frac{\left\Vert -\left(Df_{c}\right)^{-1}\left(f\left(x\right)-f\left(c\right)-Df_{c}\left(x-c\right)\right)\right\Vert }{\left\Vert f^{-1}\left(x\right)-f^{-1}\left(c\right)\right\Vert }\\
& \leq\left\Vert \left(Df_{c}\right)^{-1}\right\Vert _{\MKop}\cdot M\cdot\frac{\left\Vert f\left(x\right)-f\left(c\right)-Df_{c}\left(x-c\right)\right\Vert }{\left\Vert x-c\right\Vert }\xrightarrow[x\rightarrow c]{}0
\end{align*}\]מהרציפות של \(f^{-1}\) נובע כי:\[
\lim_{y\rightarrow b}\frac{\left\Vert f^{-1}\left(y\right)-f^{-1}\left(b\right)-\left(Df_{f^{-1}\left(b\right)}\right)^{-1}\left(y-b\right)\right\Vert }{\left\Vert y-b\right\Vert }=\lim_{x\rightarrow c}\left(\left\Vert \left(Df_{c}\right)^{-1}\right\Vert _{\MKop}\cdot M\cdot\frac{\left\Vert f\left(x\right)-f\left(c\right)-Df_{c}\left(x-c\right)\right\Vert }{\left\Vert x-c\right\Vert }\right)=0
\]מכאן ש-\(f^{-1}\) גזירה בכל נקודה \(b\in V\) והנגזרת היא אכן זו שציפינו לה. ע"פ המשפט המרכזי של המטריצה המצורפת הפונקציה המעתיקה מטריצה להופכית שלה היא פונקציה רציפה, שכן הדטרמיננטה רציפה )למה 4.1(, וכמו כן ההעתקות \(x\mapsto Df_{x}\) ו-\(y\mapsto f^{-1}\left(y\right)\) גם הן רציפות; מכאן שההעתקה \(y\mapsto\left(Df^{-1}\right)_{y}\) גם היא העתקה רציפה משום שהיא הרכבה של שלוש האחרונות )בסדר הפוך מזה שבו הצגנו אותן(.
מסקנה 4.9. תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal^{m}\) פונקציה גזירה ברציפות, אם קיימת נקודה \(a\in A\) כך ש-\(Df_{a}\) חח"ע אז \(m\geq k\) ובנוסף קיימת סביבה \(U\subseteq A\) של \(a\) כך ש-\(f\mid_{U}\) חח"ע.
4.3 משפט ההעתקה הפתוחה
משפט 4.10. משפט ההעתקה הפתוחה יהיו \(k,m\in\MKnatural\) כך ש-\(m\leq k\), תהא \(A\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה ותהא \(f:A\rightarrow\MKreal^{m}\) פונקציה גזירה ברציפות. אם \(\MKrank\left(Df_{a}\right)=m\) לכל \(a\in A\), אז \(f\) היא העתקה פתוחה.
הוכחה. תהא \(U\subseteq A\) פתוחה, ותהא \(a\in U\); נרצה להוכיח ש-\(f\left(a\right)\) היא נקודה פנימית של \(f\left(U\right)\). מהעובדה ש-\(\MKrank\left(Df_{a}\right)=m\) נובע שקיימת העתקה ליניארית \(T:\MKreal^{m}\rightarrow\MKreal^{k}\) כך ש-\(\MKrank\left(Df_{a}\circ T\right)=m\)26לדוגמה: \(T\) תעתיק בסיס של \(\MKreal^{m}\) לבסיס של \(\left(\ker\left(Df_{a}\right)\right)^{\perp}\)., כלומר \(Df_{a}\circ T\) הפיכה. א"כ תהא \(T\) כנ"ל, ותהא \(g:\MKreal^{m}\rightarrow\MKreal^{k}\) פונקציה המוגדרת ע"י \(g\left(x\right):=a+T\left(x\right)\) לכל \(x\in\MKreal^{m}\). ע"פ השרשרת \(f\circ g\) גזירה בכל נקודה ונגזרתה בנקודה \(x\in\MKreal^{m}\) היא \(Df_{a+T\left(x\right)}\circ T\), מכאן ש-\(f\circ g\) גזירה ברציפות. \(g\) רציפה ולכן \(g^{-1}\left(U\right)\) היא קבוצה פתוחה, מהגדרה \(0\in g^{-1}\left(U\right)\) ולכן ממשפט הפונקציה ההפוכה נובע שקיימת סביבה \(\tilde{U}\subseteq g^{-1}\left(U\right)\) של \(0\) כך ש-\(f\left(g\left(\tilde{U}\right)\right)\) פתוחה, תהא \(\tilde{U}\) כנ"ל. מהגדרה מתקיים \(g\left(\tilde{U}\right)\subseteq g\left(g^{-1}\left(U\right)\right)\subseteq U\), ולכן גם \(f\left(g\left(\tilde{U}\right)\right)\subseteq f\left(U\right)\). נשים לב לכך ש-\(f\left(a\right)=f\left(g\left(0\right)\right)\) ולכן \(f\left(a\right)\in f\left(g\left(\tilde{U}\right)\right)\), ומהיות \(f\left(g\left(\tilde{U}\right)\right)\) פתוחה ומוכלת ב-\(f\left(U\right)\) נובע ש-\(f\left(a\right)\) היא נקודה פנימית של \(f\left(U\right)\).
4.4 משפט הפונקציה הסתומה
משפט הפונקציה הסתומה אינו בחומר למבחן ולכן לא כתבתי לו הוכחה.
\(\clubsuit\)
מהו השיפוע של הישר המשיק למעגל היחידה בנקודה \(\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)? היינו רוצים לגזור את המקום הגאומטרי\(\left\{ \left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\} \) אלא שהוא אינו מהווה גרף של פונקציה, ולכן לא נוכל לגזור אותו. הפתרון הטבעי כמובן הוא לחלק את המקום הגאומטרי לשני חלקים:\[
\left\{ \left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\} =\left\{ \left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1,\ y>0\right\} \MKcupdot\left\{ \left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1,\ y\leq0\right\}
\]את שתי הקבוצות הללו ניתן להציג כגרפים של פונקציות:\[\begin{align*}
\left\{ \left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1,\ y\geq0\right\} & =\left\{ \begin{array}{c|c}
\left(x,y\right)\in\MKreal^{2} & y=\sqrt{1-x^{2}}\end{array}\right\} \\
\left\{ \left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1,\ y<0\right\} & =\left\{ \begin{array}{c|c}
\left(x,y\right)\in\MKreal^{2} & y=-\sqrt{1-x^{2}}\end{array}\right\}
\end{align*}\]ולכן אותן ניתן לגזור. מכללי גזירה נובע שהנגזרת של \(\sqrt{1-x^{2}}\) היא \({\displaystyle \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}}\), ולכן השיפוע של המשיק למעגל היחידה בנקודה \(\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) הוא \({\displaystyle -\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}}\), וזה כמובן מתאים לכך שהמשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודה27השיפוע של הרדיוס לנקודה \(\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) הוא \(\sqrt{3}\) ואנחנו יודעים ששני ישרים במישור הם מאונכים אם"ם מכפלת השיפועים שלהם היא \(-1\) )למעט עבור ישרים המקבילים לציר ה-\(y\)(..
\(\clubsuit\)
המקרה שראינו לעיל הוא מקרה פשוט מאד, מה אם נרצה להשתמש בכלים החזקים שפיתחנו עבור פונקציות כדי לחקור מקומות גאומטריים המוגדרים באמצעות נוסחאות מסובכות יותר? במישור ניתן להביא כל מקום גאומטרי כזה לצורה \(\left\{ \left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\mid G\left(x,y\right)=0\right\} \) עבור פונקציה \(g:\MKreal^{2}\rightarrow\MKreal\), במקרה הנ"ל \(G\) זו תהיה הפונקציה המוגדרת ע"י \(G\left(x,y\right):=x^{2}+y^{2}-1\) לכל \(\left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\). כעת נשים לב לכך שמה שעשינו הוא למצוא סביבה \(U\) של \(\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)28\(\left\{ \left(x,y\right)\in\MKreal^{2}\mid y>0\right\} \). וסביבה \(V\) של \(\frac{1}{2}\)29הקטע \(\left(-1,1\right)\), במקרה זה לא היה צורך להצטמצם הרבה בציר ה-\(x\) אבל אם היה מדובר במקום גאומטרי מסובך יותר ייתכן שהיינו צריכים להצטמצם גם בו., כך שקיימת פונקציה \(f:V\rightarrow B\)30\(f\left(x\right):=\sqrt{1-x^{2}}\). המקיימת \(G\left(x,y\right)=0\Longleftrightarrow y=f\left(x\right)\) לכל \(\left(x,y\right)\in U\); כלומר לקחנו רק חלק מהמקום הגאומטרי כך שאותו חלק הוא אכן גרף של פונקציה.
\(\clubsuit\)
בד"כ כשנשתמש במשפט הפונקציה הסתומה נצטרך להסיק את \(G\) מתוך המקום הגאומטרי הנתון לנו ולהוכיח שהיא אכן מקיימת את התנאים.
\(\clubsuit\)
לכאורה לא הרווחנו דבר - אין לנו שום מושג מיהי אותה \(f\) שקיבלנו מהמשפט31לו היינו יודעים מיהי היה זה משום שהיינו יכולים לצמצם בעצמנו את התחום ולהסיק את ההופכית המקומית.! למרות זאת אנחנו יכולים לחשב את הנגזרת שלה בכל נקודה ע"י כלל השרשרת; לכל \(x\in V\) מתקיים \(G\left(x,f\left(x\right)\right)=0\), א"כ תהא \(g:V\rightarrow\MKreal^{k}\times\MKreal^{m}\) המוגדרת ע"י \(g\left(x\right):=\left(x,f\left(x\right)\right)\) לכל \(x\in V\) ומכלל השרשרת נובע כי:\[
0=D\left(G\circ g\right)_{a}=DG_{\left(a,f\left(a\right)\right)}\circ Dg_{a}=DG_{\left(a,b\right)}\circ Dg_{a}
\]כלומר:\[\begin{align*}
0 & =\left[\begin{array}{cccc|ccc}
\mid & \mid & & \mid\\
\partial_{1}G\left(a,b\right) & \partial_{2}G\left(a,b\right) & \cdots & \partial_{k}G\left(a,b\right) & & M\\
\mid & \mid & & \mid
\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{ccc}
\\ & I_{k}\\
\\\hline \\ & Df_{a}\\
\\\end{array}\right]\\
& =\left[\begin{array}{cccc}
\mid & \mid & & \mid\\
\partial_{1}G\left(a,b\right) & \partial_{2}G\left(a,b\right) & \cdots & \partial_{k}G\left(a,b\right)\\
\mid & \mid & & \mid
\end{array}\right]+M\cdot Df_{a}\\
\Rightarrow & Df_{a}=-M^{-1}\cdot\left[\begin{array}{cccc}
\mid & \mid & & \mid\\
\partial_{1}G\left(a,b\right) & \partial_{2}G\left(a,b\right) & \cdots & \partial_{k}G\left(a,b\right)\\
\mid & \mid & & \mid
\end{array}\right]
\end{align*}\]
משפט 4.11. משפט הפונקציה הסתומה תהיינה \(A\subseteq\MKreal^{k}\) ו-\(B\subseteq\MKreal^{m}\) קבוצות פתוחות ותהא \(G:A\times B\rightarrow\MKreal^{m}\) פונקציה גזירה ברציפות. תהא \(\left(a,b\right)\in A\times B\) כך ש-\(g\left(a,b\right)=0\) ונסמן ב-\(M\) את תת-המטריצה של \(DG_{\left(a,b\right)}\) הכוללת את \(m\) העמודות הימניות שלה )כלומר העמודה ה-\(j\) ב-\(M\) היא הנגזרת החלקית של \(G\) לפי המשתנה ה-\(k+j\) שהם כל המשתנים ב-\(B\)(:\[
M:=\left[\begin{array}{cccc}
\mid & \mid & & \mid\\
\partial_{k+1}G\left(a,b\right) & \partial_{k+2}G\left(a,b\right) & \cdots & \partial_{k+m}G\left(a,b\right)\\
\mid & \mid & & \mid
\end{array}\right]
\]אם \(M\) הפיכה אז קיימות: קבוצה פתוחה \(U\subseteq A\times B\) כך ש-\(\left(a,b\right)\in U\), קבוצה פתוחה \(V\subseteq\MKreal^{k}\) ופונקציה גזירה ברציפות \(f:V\rightarrow B\) כך שמתקיים )לכל \(\left(x,y\right)\in U\)(:\[
G\left(x,y\right)=0\Longleftrightarrow y=f\left(x\right)
\]
4.5 כופלי לגראנז'
\(\clubsuit\)
בפרק הקודם ראינו שכמו באינפי'1ניתן למצוא נקודות קיצון מקומיות בקבוצה פתוחה ע"י גזירת הפונקציה והשוואת הנגזרת ל-\(0\), וכן ראינו שניתן למיין אותן ע"פ הנגזרת השנייה. באינפי'1היו לנו לכל היותר שתי נקודות שפה שקל היה לבדוק אם הן מהוות נקודות קיצון, אבל כעת ייתכן שיש לנו קבוצה אין-סופית )ואפילו לא בת-מנייה( של נקודות שפה - ייתכן אפילו שהקבוצה כולה היא נקודות שפה! כיצד נוכל למצוא את נקודות הקיצון במצב כזה? הפתרון הוא לחלק את הקבוצה לשני חלקים: את הנקודות החשודות לקיצון בפנים הקבוצה נמצא בדרך הרגילה, ואת הנקודות החשודות לקיצון על השפה נמצא ע"י המשפט הבא; אחרי שמצאנו את כל הנקודות החשודות נצטרך להציב ולבדוק מי מהן היא אכן נקודת קיצון.
\(\clubsuit\)
בד"כ הפונקציות \(g_{1},g_{2},\ldots,g_{m}\) אינן נתונות לנו אלא אנו נצטרך להסיק אותן מתוך הקבוצה שבה אנו רוצים למצוא את נקודות הקיצון, מסיבה זו נוכל לדאוג לכך שהסדרה \(\left(\nabla g_{1}\left(a\right),\nabla g_{2}\left(a\right),\ldots,\nabla g_{n}\left(a\right)\right)\) לא תהיה תלויה ליניארית )אם היא כן אז נדלל אותה לסדרה בת"ל(, ואז המשפט אומר שאם \(x\in A\) היא נקודת קיצון של \(f\) ב-\(A\) אז קיימים \(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}\in\MKreal\)32סקלרים אלה הם הנקראים "כופלי לגראנז'" ועל שמם נקרא המשפט. כך שמתקיים:\[
\nabla f\left(x\right)=\sum_{i=1}^{m}\lambda_{i}\cdot\nabla g_{i}\left(x\right)
\]כלומר קיבלנו מערכת של \(n+k\) משוואות ב-\(k+m\) נעלמים33\(k\) הקואורדינטות של \(x\) ו-\(m\) ה-\(\lambda\)-ים., ואם נצליח לפתור את המשוואות34שימו לב שאלה אינן בהכרח משוואות ליניאריות, ולכן אין לנו אלגוריתם לפתירתן. נוכל לקבוע אלו נקודות ב-\(A\) חשודות בהיותן נקודות קיצון.
משפט 4.12. כופלי לגראנז'35ערך בוויקיפדיה: ז'וזף-לואי לגראנז'. תהא \(U\subseteq\MKreal^{k}\) קבוצה פתוחה, יהי \(k>m\in\MKnatural\) ותהיינה \(f,g_{1},g_{2},\ldots,g_{m}\in C^{1}\left(U,\MKreal\right)\). נסמן:\[
A:=\left\{ \begin{array}{c|c}
x\in U & g_{1}\left(x\right)=g_{2}\left(x\right)=\ldots=g_{m}\left(x\right)=0\end{array}\right\}
\]ותהא \(F:A\rightarrow\MKreal^{m+1}\) פונקציה המוגדרת ע"י )לכל \(x\in U\)(:\[
F\left(x\right):=\begin{bmatrix}g_{1}\left(x\right)\\
g_{2}\left(x\right)\\
\vdots\\
g_{m}\left(x\right)\\
f\left(x\right)
\end{bmatrix}
\]מהגדרה \(F\) היא פונקציה גזירה ברציפות ולכל \(x\in A\) מתקיים36יש לשחלף את הגרדיאנטים כדי לקבל שאלה הן השורות של \(DF_{x}\).:\[
DF_{x}=\left[\begin{array}{c}
\nabla g_{1}\left(x\right)\\
\nabla g_{2}\left(x\right)\\
\vdots\\
\nabla g_{m}\left(x\right)\\
\nabla f\left(x\right)
\end{array}\right]
\]לכל נקודה \(a\in A\), כך ש-\(a\) היא נקודת קיצון מקומית של \(f\) ב-\(A\), מתקיים \(\MKrank\left(DF_{a}\right)<m+1\); כלומר הסדרה \(\left(\nabla g_{1}\left(a\right),\nabla g_{2}\left(a\right),\ldots,\nabla g_{m}\left(a\right),\nabla f\left(a\right)\right)\) תלויה ליניארית.
הוכחה. תהא \(a\in A\) נקודת קיצון מקומית של \(f\) ב-\(A\) ונניח בשלילה ש-\(\MKrank\left(DF_{a}\right)\geq m+1\), כלומר \(\MKrank\left(DF_{a}\right)=m+1\). מהיות \(F\) גזירה ברציפות נובע שקיימת סביבה של \(a\) שבה דרגת הנגזרת מלאה בכל נקודה, תהא \(B\) סביבה כזו. ממשפט ההעתקה הפתוחה נובע ש-\(F\mid_{B}\) היא העתקה פתוחה, ובפרט \(F\left(B\right)\) היא קבוצה פתוחה. מכאן שקיים \(0<\varepsilon\in\MKreal\) כך שמתקיים:\[
\begin{bmatrix}0\\
0\\
\vdots\\
0\\
f\left(a\right)\pm\varepsilon
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}g_{1}\left(a\right)\\
g_{2}\left(a\right)\\
\vdots\\
g_{m}\left(a\right)\\
f\left(a\right)\pm\varepsilon
\end{bmatrix}=F\left(a\right)\pm\begin{bmatrix}0\\
0\\
\vdots\\
0\\
\varepsilon
\end{bmatrix}\in F\left(B\right)
\]כלומר קיים \(x\in B\cap A\) כך ש-\(f\left(x\right)=f\left(a\right)\pm\varepsilon\) בסתירה לכך ש-\(a\) היא נקודת מקסימום/מינימום מקומית של \(f\) ב-\(A\). מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(\MKrank\left(DF_{a}\right)<m+1\).
קיימת הוכחה נוספת המסתמכת על משפט הפונקציה הסתומה.
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים? אתם מוזמנים לתת טיפ.פורמטים נוספים:
#scrollButton {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed; /* Keeps the button in a fixed position */
bottom: 0.7em; /* Distance from the bottom */
right: 0.7em; /* Distance from the right */
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקהדף הביתתרומהאודותהקדשהמפת אתרהתחלהאנליזהאלגברהענפים נוספיםצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerHTML = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );